東工大物理'04年前期[1]
図のように3つの天体が互いの万有引力を受けながら原点Oを中心に一定角速度ω で同一面上を円運動している。天体1の質量をM，天体2，3の質量をmとする。その他に天体はないものとする。以下、天体と一緒に回転している観測者の立場から考察し、図中の二つの直交する軸x，yは同じ角速度ω で回転しているものとする。このように3つの天体が一定角速度で運動するには図の距離a，b，c間にある関係式が満足されていなければならない。万有引力定数をGとする。以下の設問に答えよ。答に天体1と天体2の距離
を用いてよい。
(a) 各々の天体間に働く万有引力と、それぞれの天体の遠心力の向きを図中に示し、それらの大きさを記入せよ。
(b) 各々の天体での力のつり合いの式をx軸方向とy軸方向に分解して書け。
(c) 回転の中心Oが3つの天体の重心になっていることを示せ。
(d) 3つの天体の位置が正三角形の頂点にあることを示せ。
(e) 角速度ω をG，M，m，aを用いて表せ。
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解答 大変そうな問題に見えますが、指示に従って立式してしまえば、あとは、ひたすら、計算するだけの問題です。
天体1と天体2，天体1と天体3との距離はLだから、両者の間に働く万有引力は
天体2と天体3との距離は
だから、両者の間に働く万有引力は
天体1が受ける遠心力は
天体2，天体3が受ける遠心力は
これらの力を図に書き込むと右図。
(b) 天体1について、x方向：
①より、
y方向：
①より、
･･･①
天体2と天体3について、x方向：
①より、
･･･②y方向：
①より、
･･･③
④式はb，cを含むので、①，③を利用します。
③より、
これを①に代入すると、
∴ 
･･･⑤
これを④に代入すると、
よって、3つの天体の重心はOです。
(d) 
が導ければよいわけです。まず、
を消去します。 ③より、
⑤より、
･･･⑥
これを②に代入すると、 整理すると、
∴ 
よって、2つの天体は正三角形の頂点にあります。
(e) 
を⑥に代入すると、
∴ 
......[答]
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