東京工業大学2005年前期物理入試問題

東京工業大学2005年前期物理入試問題

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[1]　図1のように、支点Oに一端が固定された長さRのひもに、質量mのおもりが取り付けられている。支点Oを通る鉛直線上、Oから下に距離

のところに釘があり、おもりが右側に振れると、図2のようにひもが釘に引っかかる。ただし、

とする。
おもりをひもがたるまないように鉛直線ONの左側で静止させる。このとき、ひもと鉛直線のなす角を

とする。この状態で静かに手を離し、おもりを自由に運動させる。
ひもの質量と伸びは無視できるものとし、支点Oや釘Nも含めて摩擦はないと仮定する。釘とおもりの大きさは無視できるものとする。重力加速度をgとする。

(a) 角

が非常に小さいとき、このおもりが初めて元の位置に戻るまでの時間を求めよ。

(b) 一般の(小さいとは限らない)角

を考える。手を離してから、おもりが運動し、釘Nの真下に来るまで、ひもはたるまないものとする。おもりが釘Nの真下まで来て、ひもが釘Nに接触する直前と接触した直後のそれぞれについて、支点Oがひもから受ける力の大きさを求めよ。

(c)

，

の場合を考える。おもりが釘Nの右側で、釘Nと同じ高さに達したとき、釘がひもから受ける力の向きと大きさを求めよ。

(d)

の場合を考える。ひもがたるまないまま、おもりが釘Nのまわりを一回転するとき、rが満たす条件を求めよ。ただし、おもりとひもは衝突しないものとする。

[解答へ]

[2]　図1のように磁束密度

の一様な磁界中に、長さ

の金属棒MNが、ばね定数

のばねで吊り下げられている。金属棒の両端には2本の平行な導体棒がついている。2本の導体棒は、固定された台に取り付けられた円筒状の金属端子PおよびQの中を、端子と電気的に接触を保ちながら摩擦なく鉛直方向に上下する。外部からの導線は固定された端子PとQに接触する。この装置の内部抵抗は

である。
磁界は金属棒と導体棒がつくる面に垂直である。金属棒は常に水平を保って動く。金属棒の下向きの変位を

で表し、電流を流さないときを

とする。

[A]　図1の装置を電流計として使うことを考えよう。

(a) 金属棒に電流を流したところ、金属棒の変位が

となって静止した。流した電流の向き(MからNの向きか、NからMの向きか)と大きさを求めよ。

(b) ばねを壊さないために、金属棒に流す電流が

を超えると、それ以上金属棒が下がらないようになっている。金属棒の変位の最大値

を求めよ。変位xが電流Iに対応するように、解答欄の図の目盛Aに0から

まで20mAおきに目盛を記せ。

を用いて測定可能な最大電流を1Aとしたい。図2の(ア)と(イ)のどちらがふさわしい回路であるかを選び、必要な抵抗

の値を求めよ。

[B]　図1の電流計を使って図3の回路を組み、未知抵抗

を測定することを考えよう。電池の起電力は

であり、内部抵抗は無視できるとする。スイッチSは初め開いている。測定する抵抗Rが

のときに電流計に流れる電流が

になるように抵抗

を設定した。

(d) 抵抗

の値はいくらか。

(e) 次に未知抵抗Rを測定した。このとき電流計の読みからRの値が読み取れるように、解答欄の図の目盛Bに0から

まで

おきに目盛を記せ。

(f) 図3の回路のスイッチSを閉じて未知抵抗Rを測定した。

のとき、問い(e)で作った目盛Bから読み取った値を何倍すればRの真の値が得られるか。

[解答へ]

[3]　以下の文章中の①から⑦の　　にあてはまる適当な式または数値を記せ。また、問いに答えよ。ただし、プランク定数を

，光速を

，電気素量を

とする。数値を求めるときには、

，

を用いよ。数値は有効数字3桁で示せ。

[A]　X線は光より波長の短い電磁波であり、波動性と粒子性の2重性をもつ。粒子と考えたとき、波長λのX線の粒子(光子)のエネルギーと運動量はそれぞれ ① および ② と表される。たとえば、波長

の光子1個がもつエネルギーは ③ eVである。

X線の粒子性はコンプトン効果に現れる。コンプトン効果ではX線を光子と考え、静止している自由電子と光子との衝突のモデルからX線の波長変化が説明される。図1のように衝突前の光子の波長をλ，衝突後の波長を

とする。衝突後、光子は入射方向に対し角度ϕの方向に散乱され、質量mの電子は角度αの方向に速さvではね飛ばされる。この衝突の前後におけるエネルギー保存則を式で表すと、

と書ける。また、衝突の前後における運動量保存則を、入射方向とそれに垂直な方向の成分に分けて書くと、

入射方向成分：

垂直方向成分：

となる。これらの式から衝突によるX線の波長変化

は、

と近似して

と表される。ここで、

は電子のコンプトン波長で

である。

[B] 　コンプトン効果は、図2に示すように単色X線を石墨に入射させ、X線分光器を用いて散乱X線のスペクトルを測定することで確認される。X線分光器ではX線をスリットを通して結晶表面に入射させ、反射したX線の強度を検出器で測定する。このとき結晶をX線の入射方向に対して回転角θ だけ回転すると、結晶の回転に連動して散乱角

の方向に検出器が移動するように設定されている。この設定により回転角を変えていくことで、さまざまな波長のX線に対し結晶表面に平行な格子面によるブラッグ反射が起こる。その反射強度を測定することで、入射X線のスペクトルを得ることができる。この測定により、石墨からの散乱X線の中に入射X線と同じ波長のX線の他に、コンプトン効果によりわずかに波長の異なるX線が含まれているのが観測される。