東工大物理'08年後期[1]
大きさを無視できる粒子の、外力の働かない運動を考える。
[A] 図のように、速さ
の粒子1 (質量m)が、静止している粒子2(質量
，
)に衝突し、一体の粒子3(質量
)が生成される。 (a) 衝突による運動エネルギーの減少量U (
)を、
，m，Aで表せ。 [B] Uが、ある正の一定値Q以上の場合、粒子3は、粒子4(質量m、速さ
)と粒子5(質量
，速さ
)に分裂し、
のエネルギーが再び運動エネルギーに加わる。すなわち、分裂後の粒子4と5の各運動エネルギー
，
と衝突前の粒子1の運動エネルギー
との間には、 の関係式が成り立つ。図のように、粒子1の進行方向に対して、粒子4の進行方向のなす角度をθ，粒子5の進行方向のなす角度をϕ として、以下の問いに答えよ。
(b) 
の場合、粒子4と5は同じ速さで
の方向に向かう。この場合の
を、AとQで表せ。 (c) 
の場合、衝突前の粒子1と分裂後の粒子4と5の各運動量の間に成り立つ関係式を、図中の記号を用いて表せ。 (d) 
の場合、粒子4の速さ
は2次方程式 を満たす。空欄(ア)と(イ)を、A，
，m，Q，θ の記号を用いてうめよ。 (e) 粒子4が
の方向に向かう場合を考える。
が2つの値を持ちうる
の範囲を、AとQで表せ。 (f) 粒子4が
の範囲に向かうことのできる
の範囲を、AとQで表せ。
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解答 数学的な考察から得られる結果がどのような物理的意味を持っているか、というところが物理学の醍醐味のはずなのですが、入試問題で出題されると、受験生の悲鳴になってしまうかも知れません。後半は、物理的意味を考える以前に、数学の2次方程式の問題としてもかなり難問です。なお、衝突・合体・分裂の問題を参照してください。
問題文の図の右向きを正方向とします。
[A](a) 衝突後一体となったときの粒子3の速度を
とすると、外力が働いていないので、衝突前後の運動量保存より、
[B] 衝突後の粒子4，粒子5の速さを
，
とします。 (b) 題意より、
として考えます。 分裂前後の運動量保存より(衝突前の運動量は
です)、 ∴ 
∴ 
･･･① よって、問題文中の運動エネルギーの関係式より、
･･･②①より、
これを②に代入して、 ∴ 
......[答]
(c) 運動量保存則を表す式を2成分に分けて書きます。
粒子1の運動方向の成分について、
......[答] ･･･③粒子の運動方向に垂直な方向の成分について、
......[答] ･･･④
(d) ここは、(c)の運動量保存則の式から何をすればよいか戸惑うかも知れません。
「A，
，m，Q，θ の記号を用いて」という指定を見ると、ϕ が出てきません。ここに着目します。つまり、ϕ を消去せよ、と、問題文は指示しているのです。
③より、
④より、
この2式を2乗して加えると、ϕ が消去されて、 
･･･⑤問題文中の関係式
より、 ここに⑤をAで割ったものを代入します。
をかけて、∴ 
･･･⑥
よって、(ア)が
，(イ)が
......[答]
(e) 「粒子4が
の方向に向かう場合を考える」という指定がついているので、
，
として、⑥を考えます。⑥は、 
･･･⑦
となりますが、この2次方程式は、
の範囲に相異なる2実数解をもちます。
その条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
なので(粒子1が静止していたのではこの問題は成立しない)、⑦の左辺を
とおいて、
“⑦の判別式：
”かつ“
”
です。∴ 
･･･⑧ ∴ 
･･･⑨
⑧，⑨より、
......[答]
∴ 
∴ 
......[答]
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......[答]
のとき、
となります。⑥の左辺を
とおくと、
の軸は
の範囲にきます。2次方程式
が、
の範囲に相異なる2つの解をもつことはあり得ません。ということは、
となる解は、存在しても1つしかない、ということです。よって、2次方程式
が
の範囲に少なくとも1つの解をもつ条件は、“
”です。