東工大物理'21年前期[3]

図のように、シリンダー、ピストン、筒型容器からなる装置を考える。十分に長いシリンダー(断面積S)と長さLの筒型容器(断面積S)は、水平な床の上に固定されており、コックのついた管でつながっている。シリンダーには水平方向になめらかに動くピストンがあり、シリンダー内の気体と大気を仕切ることができる。シリンダー底面からピストンの内面までの距離xを用いて、ピストンの位置を表す。また、シリンダーの中にはヒーターがあり、シリンダー内の気体を加熱することができる。筒型容器には温度調節器があり、気体との間で熱を自由にやりとりすることにより容器内の気体の温度を制御することができる。シリンダー、ピストン、筒型容器、コックのついた管は熱を通さない物質でできており、コックのついた管、ヒーターならびに温度調節器の体積と熱容量は無視できる。大気の圧力(大気圧)で一定である。以下の問に答えよ。ただし、気体定数をRとする。
最初、ピストンの位置はで、コックが閉じられており、筒型容器には単原子分子理想気体が閉じ込められていた。コックを開いたところ、筒型容器内の気体が管を通ってシリンダー内に膨張した。しばらくすると、装置内の気体の状態が一様となり、ピストンは位置で静止した。このときの装置内の気体の温度をとする。ここで、コックを閉じた。コックを閉じた後の装置内の気体の状態を、状態
Aとよぶ。
次に、ピストンの位置をに固定するようピストンに外力を加えたまま、シリンダー内の気体をヒーターでゆっくり加熱したところ、その気体の圧力はとなり、ここで加熱をやめた。このときの装置内の気体の状態を、状態
Bとよぶ。

(a) 状態Bにおけるシリンダー内の気体の温度を求めよ。答のみ記せ。

(b) 状態Aから状態Bへの過程において、ヒーターがシリンダー内の気体に加えた熱量を求めよ。答のみ記せ。

続いて、ピストンに加える外力を徐々に弱めながら、シリンダー内の気体の圧力が大気圧と等しくなるまで、シリンダー内の気体を断熱的に膨張させた。この状態を、状態Cとよぶ。状態Bから状態Cへの過程において、シリンダー内の気体はの関係式を満たす。ここでPVはそれぞれ、シリンダー内の気体の圧力、体積であり、である。

(c) 状態Cにおけるピストンの位置xの値を求めよ。

(d) 状態Bから状態Cへの過程において、シリンダー内の気体が外部にした仕事を求めよ。

次に、ピストンが動かないように固定し、さらにコックを開いてしばらくすると、装置内の気体の状態が一様になった。この状態を、状態Dとよぶ。状態Cから状態Dへの過程において、装置内の気体と外部の間で熱のやりとりはなく、また気体は外部に仕事をしないため、装置内の気体の内部エネルギーは変化しない。

(e) 状態Dにおける装置内の気体の温度、圧力を求めよ。

(f) 状態Cから状態Dへの過程において、筒型容器からシリンダーへ移動した気体のモル数を求めよ。

その後、ピストンの固定をはずし、さらにコックを開いたまま温度調節器を用いて装置内の気体から熱をゆっくり吸収し、装置内の気体の温度をにしたところ、ピストンの位置がに戻った。ここで、コックを閉じた。このことにより、装置内の気体の状態は元の状態Aに戻った。

(g) 状態Dから元の状態Aに戻る過程において、温度調節器が装置内の気体から吸収した熱量を求めよ。

(h) この装置内の気体の状態が、状態から状態BCDを経て状態Aに戻る過程を熱機関のサイクルと考えることができる。この熱機関の効率(熱効率)を求めよ。

解答 ふつう、サイクルとか熱効率を考える問題では、1サイクルで容器内の気体はどこにも行かず、どこからも供給されない、という前提で考えますが、本問では、一時的にシリンダー内の物質量が変化します。従って、サイクルのp-V図をうまく描くことができません。シリンダー内の気体のみに着目すると、状態Dにおいて物質量が他の状態と異なります。装置全体では、状態Bと状態Cにおいて、シリンダー内と筒型領域内とで、圧力と温度が異なります。

最初、コックを開いてシリンダー内と筒型容器とで気体が一様になり、そこでコックを閉じると、両者の圧力、体積、温度が等しいので、両者の気体の量は等しくなります。この気体の量を各々
nモルとします。
状態
Bにおけるシリンダー内の気体の温度をとして、シリンダー内の気体の状態方程式は、
状態
A ・・・@
状態
B ・・・A

(a) A÷@より、 ......[]

(b) 状態A→状態Bは定積変化なので、シリンダー内の気体は仕事をしません。ヒーターがシリンダー内の気体に加えた熱をとすると、は、熱力学第一法則より、状態A→状態Bにおける内部エネルギーの変化に等しく、@を用いて(nは問題文中に与えられていないので解答には使えません)
......[]

(c) 問題文中に与えられているポアッソンの関係式: ()より、
で割り両辺を乗すると、
両辺を3乗してSで割ると、 ......[]

(d) 状態Cの圧力はです。気体の温度をとして、状態方程式は、
・・・B
B÷@より、 ・・・C
状態
B→状態Cにおいて、シリンダー内の気体が外部にした仕事を,内部エネルギーの変化をとすると、気体の変化は断熱変化で、熱力学第一法則より、
よって、(a)の結果、C,@を用いて、
......[]

(e) 状態Cにおいて、シリンダー内の気体の内部エネルギーは,筒型容器内の気体の内部エネルギーは,状態Dの気体の温度をとして両気体を合わせて内部エネルギーは,装置内の内部エネルギーは変化しないので、
 ∴ .......[]
状態Dにおけるシリンダー内・筒型容器内合わせた気体(体積は)の圧力をとして、気体の量はモルで、状態方程式は、
 ・・・D
D÷@より、 ∴ ......[]

(f) 状態Dにおいて、筒型容器内のみの気体の量をモルとして、筒型容器内の気体の状態方程式は、(e)の結果より状態Dの温度はなので、
 ・・・E
E÷@より、 ∴
筒型容器内には元々nモルあったので、筒型容器からシリンダーへ移動した気体のモル数は、 ......[]

(g) 状態D→状態Aにおいて、シリンダー内と筒型容器内を合わせて、気体の圧力はのままなので定圧変化です。温度はからまで変化し、単原子分子理想気体の定圧モル比熱はなので、定圧モル比熱の式より、気体が吸収した熱Qは、@を用いて、
温度調節器が装置内の気体から吸収した熱は、
......[]

(h) 1サイクルの間に、装置内の気体に加えられる熱は、(b)より、です。
装置内の気体が外部に対してした仕事は、(d)より、です。
装置内の気体が外部から仕事をされたのは、状態
D→状態Aの過程で、気体がされた仕事は、
装置内の気体が外部に対してした正味の仕事は、
この熱機関の熱効率は、
......[]



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