東大物理'10年前期[3]

東大物理'10年前期[3]

管の中では気柱の共鳴という現象が起こるが、そのときの振動数を固有振動数と呼ぶ。なお、以下で用いる管は細いので、開口端補正は無視する。

Ⅰ　管の長さをL，空気中の音速をVとして以下の問いに答えよ。

(1) 管の両端が開いているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。

(2) 管の一端が開いていて、他端が閉じられているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。

Ⅱ　長さ

の透明で細長い管の左端に膜をはり、この膜を外部からの電流によって微小に振動させ、管の中に任意の振動数の音波を発生できるようにした。管は水平に置かれ、内部には細かなコルクの粉が少量まかれていて、空気の振動の様子が見えるようになっている。管の右端をふたで閉じて、音波の振動数をゆっくり変化させた。振動数を

から

まで変化させたとき、

と

で共鳴が起こり、空気の振動の腹と節がコルクの粉の分布ではっきりと見えた。なお、他の振動数では共鳴は起こっていない。

(1)

での共鳴のときの空気の振動の節の位置を管の右端からの距離で答えよ。

(2) この条件を用いて、音速Vを求めよ。

Ⅲ　次に、Ⅱで行った実験では閉じられていた右端を開いて、振動数を

から

まで変化させた。今度は振動数が

と

で共鳴が起こり、管は大きな音で鳴った。ここで、

である。

と

を求めよ。

Ⅳ　この装置を自転車に載せてサッカー場に行った。固有振動数

の音を出しながら、図3に示すように、サイドライン上をA点からC点に向かって一定の速さvで走る。C点にはマイクロフォンと増幅器とスピーカーがあり、マイクロフォンでとらえた音を増幅してスピーカーで鳴らす。三角形BCDが正三角形になるように、サイドライン上にB点とD点を設定する。D点で装置からの音とスピーカーからの音を聞く。風の影響は無視して以下の問いに答えよ。

(1) 2つの音源からの音は、干渉によりうなりを生じる。B点からの音とスピーカーからの音が干渉して生じるうなりの振動数を、音速V，自転車の速さv，振動数

を用いて表せ。

(2) 自転車がB点を通過するときのうなりの振動数は

であった。この値を用いて自転車の速さを有効数字1桁で求めよ。なお、音速の値はⅡで求めたものを用いよ。

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解答　Ⅱで、

と

の差は、開管なら基本振動の振動数になり、一端閉管なら基本振動の2倍の振動数になるはずです。ですが、開管でもないし、一端閉管では基本振動の偶数倍の振動数になってしまうし、と、思うかも知れません。ここは、両端とも閉じられているので、両端とも固定端の弦のような振動になります。

Ⅰ(1) 開管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている両端は、空気が自由に振動できるので、振動の腹になります。腹と腹の間に節が1つできるのが基本振動です。腹と腹の間に、節が2つできてその間に腹が1つできるのが2倍振動、節が3つ腹が2つできるのが3倍振動です。

基本振動の波長

は、

で、振動数

は、

　(波の公式を参照)
2倍振動の波長

は、

で、振動数

は、

3倍振動の波長

は、

で、振動数

は、

小さい方から3番目までの振動数は、

，

......[答]

(2) 一端閉管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている側は、空気が自由に振動できるので振動の腹になりますが、閉じている側は、空気が振動できないので振動の節になります。開いている側が腹で、閉じられている側が節になり、その間に、腹も節もないのが基本振動、腹と節が1つずつあるのが3倍振動、腹と節が2つずつあるのが5倍振動になります。偶数倍の倍振動はできません。

基本振動の波長