東京大学2011年前期物理入試問題

東京大学2011年前期物理入試問題

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[1]　図1のように、長さ

で質量の無視できる棒によってつながれた、質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。ただし

とする。棒は物体Aおよび物体Bに対してなめらかに回転でき、棒が鉛直方向となす角をθ とする。はじめ、物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。一方、物体Bは物体Aの真上(

)から初速度0で右側へ動き始めた。その後の運動について以下の設問に答えよ。なお、重力加速度の大きさをgとして、物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。また、棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。

Ⅰ　まず、物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。

(1) 物体Bが動き出してからしばらくの間は、物体Aは壁に接したままであった。この間の物体Bの速さvを、θ を含んだ式で表せ。

(2) (1)のとき、棒から物体Bにはたらく力Fを、θ を含んだ式で表せ。棒が物体Bを押す向きを正とする。

(3)

において、物体Aが壁から離れて床の上をすべり始めた。

を求めよ。

(4)

における物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。

(5) 物体Bが物体Aの真横(

)にきたときの、物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

(6)

に達した直後に、物体Bが床と完全弾性衝突した。その後、物体Bが一番高く上がったとき

であった。

を求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

Ⅱ　次に、物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度は、

において、物体Aが壁から離れた。これより、物体Aと床との間の静止摩擦係数μを求めよ。

[解答へ]

[2]　電気製品によく使われているダイオードを用いた回路を考えよう。簡単化のため、ダイオードは図2-1のようなスイッチ

と抵抗とが直列につながれた回路と等価であると考え、Pの電位がQよりも高いか等しいときには

が閉じ、低いときには

が開くものとする。なお以下では、電池の内部抵抗、回路の配線に用いる導線の抵抗、回路の自己インダクタンスは考えなくてよい。

Ⅰ　図2-2のように、容量Cのコンデンサー2個、ダイオード

，

，スイッチS，および起電力

の電池2個を接続した。最初、スイッチSは

側にも

側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないものとする。点Gを電位の基準点(電位0)としたときの点

，

それぞれの電位を

，

として、以下の設問に答えよ。

(1) まず、スイッチSを

側に接続した。この直後の

，

を求めよ。

(2) (1)の後、回路中の電荷移動がなくなるまで待った。このときの

，

，およびコンデンサー1に蓄えられた静電エネルギーUを求めよ。また、電池がした仕事Wを求めよ。

(3) (2)の後、スイッチSを

側に切り換えた。この直後の

，

を求めよ。

(4) (3)の後、回路中の電荷移動がなくなったときの

，

を求めよ。

Ⅱ　図2-2の回路に多数のコンデンサーとダイオードを付け加えた図2-3の回路は、コッククロフト・ウォルトン回路と呼ばれ、高電圧を得る目的で使われる。いま、コンデンサーの容量は全てCとし、最初、スイッチSは

側にも

側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないとする。

スイッチSを

側、

側と何度も繰り返し切り換えた結果、切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった。この状況において、スイッチSを

側に接続したとき、点

と点

の電位は等しくなっていた(

)。また、スイッチSを

側に接続したとき、点

と点

の電位は等しくなっていた(

)。スイッチSを

側に接続したときの点

，

の電位

，

をNと

で表せ。なお、点Gを電位の基準点(電位0)とせよ。

[解答へ]

[3]　図3-1のように、摩擦なしに動くピストンを備えた容器が鉛直に立っており、その中に単原子分子の理想気体が閉じ込められている。容器は断面積Sの部分と断面積

の部分からなっている。ピストンの質量は無視できるが、その上に一様な密度の液体がたまっており、つりあいが保たれている。気体はヒーターを用いて加熱することができ、気体と容器壁およびピストンとの間の熱の移動は無視できる。また、気体の重さ、ヒーターの体積、液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき、液体より上の部分は圧力0の真空とする。重力加速度の大きさをgとする。以下の設問に答えよ。

Ⅰ　まず、気体、液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。このときの液体部分の高さは

である。

(1) はじめ、気体部分の高さは

，圧力は

であった。液体の密度を求めよ。

(2) 気体を加熱して、気体部分の高さを

からhまでゆっくりと増加させた(図3-2)。この間に気体がした仕事を求めよ。

(3) この間に気体が吸収した熱量を求めよ。

Ⅱ　気体部分の高さがhのとき、液体の表面は断面積

の部分との境界にあった(図3-2)。このときの気体の温度は

であった。さらに、ゆっくりと気体を加熱して、気体部分の高さは

となった場合について考える(図3-3)。

(1)

では、液体部分の高さが小さくなることにより、気体の圧力が減少した。気体の圧力Pを、xを含んだ式で表せ。

(2)

では、加熱しているにもかかわらず、気体の温度は

より下がった。気体の温度Tを、xを含んだ式で表せ。

(3) 気体部分の高さがhから

に変化する間に、気体がした仕事Wを求めよ。

(4) 気体部分の高さがある高さ

に達すると、ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0になり、xがXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求めよ。

[解答へ]

各問検討

[1](解答はこちら)　2011年の東大物理は、[2]の後半と[3]の最後の部分が考えさせる問題なので、[1]の力学は軽めになっています。と言っても、それは問題に取り組んでみて結果的にわかることで、ちょっと見にはモーメントを考えるような問題に見え、プロの予備校講師でもなければ後回しにしたくなる問題でしょう。実戦的には、[2]Ⅰと[3]Ⅰ，[3]Ⅱの前半を見て、[1]に戻り、なあんだ、大したことない、ということになると思います。大切なことは、この[1]をパスしない、ということです。特に、[2]Ⅱに深入りしすぎて[1]を解く時間がなくなってしまった、ということのないように注意が必要です。
本問Ⅰは、取り組んでみると、モーメントを持ち出すような局面はなく、平凡に、円運動の運動方程式、力学的エネルギー保存、運動量保存で解けてしまいます。Ⅱにしても、滑り出す限界で静止摩擦力が最大静止摩擦力になる、という頻出問題なので、それほど時間をかけずとも正解に到達できるでしょう。
東大物理は、試験時間が化学と合わせて150分で、東工大物理や京大物理よりも短いので、どうしても大がかりな問題は出しづらく、数学で難解な問題が出題されることへの対策が必要になることを考えると、物理では、むしろ標準的な問題に力を入れて準備する方が賢明だと思います。
本問[1]も、設定が少々風変わりで、棒が物体Bを押す方向を力の正の向きにするなど多少意地悪(力の向きで混乱しないように注意が必要です)だし、易問とは言えませんが、見かけ倒しで中身は不等速円運動の頻出パターンと変わりはありません。他の年度を見ても、時々無理問題もありますが、大半は、教科書が熟読されていて、標準的な問題集でしっかりと練習できていれば、充分に得点できる問題です。あらゆる問題のパターンを網羅的にこなそう、とするのではなく、限られた特徴的な問題を物理的な視点から基本的物理法則に立ち返って深く考察する、という効率的な学習法を心がけるようにしてください。

[2](解答はこちら)　コッククロフト・ウォルトン回路は、1932年に行われた、水素原子核(陽子)とリチウム原子核の核融合実験において、陽子の加速に用いられた高電圧発生回路です。陽子を0.6MeVにまで加速してリチウム・ターゲットに衝突させ、1回の衝突で2個の高エネルギーα粒子(ヘリウム原子核)が発生することを確認しました。α粒子のエネルギーは17.9MeVでした。この反応は、

という核反応式で表されるのですが、核融合反応により大きなエネルギーが得られることが確認された史上初の核融合実験です。
(2)では、コッククロフト・ウォルトン回路の動作原理を扱う問題としたかったのだろうと思いますが、東大物理の試験時間75分では厳しい、ということで、問題文で考え方を指示してさわりだけを考える問題になっています。
「電荷移動が起こらなくなった」という問題文の指示を理解できれば容易に解答を求めることができるのですが、壮大な回路の動作を一歩ずつ調べながら解こうとすると、ハマってしまうことになります。まともではやりきれないことを感じたところで、問題文の指示の意味を考え、方針転換できるか、ということがこの問題の分かれ目です。
解答で「スイッチSの切り換え、1回目、2回目、･･･、と各コンデンサーの電圧を調べて行きたくなるのですが、本問では、手に負えなくなります。」と書きましたが、調べて行くとどうなるか、こちらでやってみることにします。
逐次、各コンデンサーの電圧を求めてみます。

間のコンデンサーを

，

間のコンデンサーを

(

)，コンデンサー

両端の電圧を

，電荷を

(上側の極板を正) (

)とします。
スイッチSを

側に接続し、その後、電荷移動がなくなってから、スイッチSを

側に接続し、電荷移動がなくなるのを待って、1回の操作とします。
全てのコンデンサーの電圧がゼロの初期状態から、1回目の操作を行います。スイッチSを

側に接続すると、

，

となります。スイッチSを

側に接続すると、

，

の上側の極板に合わせて

の電荷があり、

，

∴

，

2回目の操作では、スイッチSを

側に接続すると、

，

ここで、

となりますが、これが、次のS切り換え後の

，

の上側の極板の電荷になります。
スイッチSを

側に接続すると、

，

の上側の極板に合わせて

の電荷があり、

，

∴

，

3回目の操作では、スイッチSを

側に接続すると、

，

スイッチSを

側に接続すると、

，

の上側の極板に合わせて

の電荷があり、

，

∴

，

，
このまま継続しても展望はありません。スイッチSを

側に接続したときに成立する式、

において、電荷移動が起こらなくなれば、

となるはずなので、

となることに気づけるかどうかが本問のポイントです。

[3](解答はこちら)　本問は、Ⅱ(3)(4)を除けば、教科書の例題レベルの基本問題です。東大と言えども、合格のためには教科書をしっかりマスターするところから始めるべきだ、ということがわかる問題です。難関大学だから、基本などやっている場合ではない、高級な受験技巧を修得するべきだ、という発想は、特に物理では誤りです。天体の運動や電磁気現象など、自然現象は、基本的な物理法則に従っています。複数の物体がからんで複雑になることはありますが、受験技巧に従って動くわけではありません。難解そうに見える入試問題であっても、基本的な物理法則に立ち返って考えるべきです。
さて、本問では、Ⅱ(3)になると教科書の基礎事項だけでは扱いきれなくなります。教科書には、定圧変化、定積変化、等温変化、断熱変化の4種類の変化が説明されていますが、本問Ⅱの変化は、その4種類の変化のいずれにも該当しません。敢えて言えば、直線的変化とでも言うべき第5の変化をします。この変化の過程において、圧力も体積も温度も変化していきます。また、熱の移動もあります。入試では、ばねがついているピストンの問題や、空気バネの問題などで、こうした変化が出現します。従って、ここでは、気体のした仕事を、定圧変化のように、圧力×体積変化として計算したり、等温変化のように、気体のした仕事=気体の吸収した熱としたり、断熱変化のように、気体のした仕事=気体の内部エネルギーの減少分として求めることはできません。ここでは、pV図の面積として仕事を求めることになります。ここでは、台形の面積として仕事を求めることができるので必要はありませんが、問題によっては、圧力pを体積Vの関数

として、Vが

から

まで変化する時に気体がする仕事Wを、

として求めることもあります。ですが、これも、高級な受験技巧と言えるものではなく、pV図の面積を定積分計算によって求めるというだけであって、pV図の面積は仕事を表す、という教科書レベルの基礎事項です。
本問Ⅱ(4)では、問題文の「ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0」という記述に「さらに」という言葉が入っているところに気づけるか、ということがポイントです。安易に熱量が0だから

として、

などと解答するのでは、おかしい、と、感じる繊細な感覚が必要なのです。熱量が0だったら、そもそもピストンが上昇するだろうか？外部からのエネルギーの注入がゼロで上部の液体の位置エネルギーの増加分をどこから供給するのだろうか？というような疑問を感じることができれば、問題文の「さらに」という言葉の意味するところ、ある高さまでピストンが上昇していて、そこからさらに上昇するために供給されるべき熱がゼロになるところはどこか、つまり、熱量の変化率

がゼロになるところはどこか、と、考察が進むと思います。
入試の戦略としては、Ⅱ(4)を仮に落としたとしても、これが直接に合否に響くことはないと思いますが、ここを取れれば有利に働くのは確かです。物理の実力、とか、物理的な思考力、というよりも、自然現象の細かな変化にも気づけるような繊細な感覚をもっているか、ということが、本問では分かれ目になると思います。
なお、解答のQ対xの図では、

の部分も描かれていますが、ピストンが上昇を続けているのに気体が熱を奪われる、という局面は物理的に存在し得ません。問題文にあるように、

となった時点で突沸が起こり、ピストンが一気に上昇してしまうことになります。

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