東大物理'11年前期[2]
電気製品によく使われているダイオードを用いた回路を考えよう。簡単化のため、ダイオードは図2-1のようなスイッチ
と抵抗とが直列につながれた回路と等価であると考え、Pの電位がQよりも高いか等しいときには
が閉じ、低いときには
が開くものとする。なお以下では、電池の内部抵抗、回路の配線に用いる導線の抵抗、回路の自己インダクタンスは考えなくてよい。
Ⅰ 図2-2のように、容量Cのコンデンサー2個、ダイオード
，
，スイッチS，および起電力
の電池2個を接続した。最初、スイッチSは
側にも
側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないものとする。点Gを電位の基準点(電位0)としたときの点
，
それぞれの電位を
，
として、以下の設問に答えよ。 (1) まず、スイッチSを
側に接続した。この直後の
，
を求めよ。 (2) (1)の後、回路中の電荷移動がなくなるまで待った。このときの
，
，およびコンデンサー1に蓄えられた静電エネルギーUを求めよ。また、電池がした仕事Wを求めよ。 (3) (2)の後、スイッチSを
側に切り換えた。この直後の
，
を求めよ。 (4) (3)の後、回路中の電荷移動がなくなったときの
，
を求めよ。
Ⅱ 図2-2の回路に多数のコンデンサーとダイオードを付け加えた図2-3の回路は、コッククロフト・ウォルトン回路と呼ばれ、高電圧を得る目的で使われる。いま、コンデンサーの容量は全てCとし、最初、スイッチSは
側にも
側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないとする。
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解答 Ⅰは教科書の例題レベルの問題です。試験会場で、壮大なⅡがコンデンサーの問題ではなくロジックの問題だと見破り易問だと感じた受験生は合格を確信できたでしょう。
以下では、ダイオードの等価回路で、Pの電位がQよりも高いか等しいとき(
が閉じる)を「順方向」、低いとき(
が開く)を「逆方向」と言うことにします。
Ⅰ(1) スイッチSを
側に接続した直後、充電されていないコンデンサーは導通したのと同じになるので、回路は等価的に右上図のようになっています。右上図より、
の電位
はGの電位に等しく、
の電位
は
の電位に等しくなります。
は順方向、
は逆方向です。
，
......[答](2) 回路中の電荷移動がなくなるまで待ったときの回路は等価的に右下図のようになっています。右下図より、
，
の電位はともに
の電位に等しくなります。 
......[答]コンデンサー1に蓄えられる静電エネルギーUは、
コンデンサー1に蓄えられる電荷は
で、電池は電圧
で電荷
を供給しているので、電池がした仕事Wは、 
(3) スイッチSを
側に切り換えた直後、充電されていないコンデンサー2は導通したのと同じになるので、回路は等価的に右上図のようになっています。右上図より、
の電位はGの電位より
高く、
の電位は
の電位に等しくなります。
は逆方向、
は順方向です。
，
......[答](4) 回路中の電荷移動がなくなったときの回路は等価的に右下図のようになっています。コンデンサー1の上側の極板には最初、電荷
が蓄えられていたので、右下図のように、コンデンサー1，コンデンサー2に蓄えられる電荷を
，
とすると、電荷保存より(合成容量の公式を参照)、 両式より、
の電位は
なので、
......[答]
Ⅱ スイッチSの切り換え、1回目、2回目、･･･、と各コンデンサーの電圧を調べて行きたくなるのですが、本問では、手に負えなくなります。
スイッチSの切り換えn回目の電位を求めるのではなく、「切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった」状況で、
，
の電位を求めるので、この最終的な状況だけを考えることにします。
以後、点
，
，･･･，
における電位を
，
，･･･，
とします。
「スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた(
)。また、スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた(
)」という問題文のヒントについて考えてみます。
スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた、ということは、電荷の移動がないのであれば、接続直後に、
であったということです。なぜなら、
であれば、
間のダイオードが順方向にならず、
にはなり得ないからです。つまり、スイッチSを
側に接続したとき、
間のダイオードは順方向になっていて、ダイオード等価回路のスイッチが閉じており、電荷の移動が無く電流がゼロなので抵抗両端の電圧もゼロ、ダイオード両端の電位は等しい、ということになります。
また、
にはならないので、
間のダイオードは逆方向でダイオード等価回路内のスイッチは開いた状態にあります。この状況を右図に示します。電荷の移動がない状況では、
間のコンデンサーと
間のコンデンサーとは(
)、両端の電位が等しいので、両端の電圧も等しくなります。
同様に、スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた、ということは、
間のダイオードは順方向でダイオード等価回路内のスイッチは閉じた状態にあり、電荷の移動が無く電流ゼロなのでダイオード両端の電位が等しくなるということです。
間のダイオードは逆方向になっていてダイオード等価回路のスイッチが開いた状態にあります。この状況を右図に示します。電荷の移動がない状況では、
間のコンデンサーと
間のコンデンサーは(
)、両端の電位が等しいので、両端の電圧も等しくなります。
以上より、電荷の移動がない状況では、G
間のコンデンサーを除いて、全てのコンデンサー両端の電圧が等しくなります。最初からこの事実を直感できれば、本問は易問と言えるでしょう。答案には、 「スイッチSを切り換えても回路中での電荷移動が起こらない状況では、スイッチSを
側に接続したとき、
間のダイオードが順方向で、
間のダイオードが逆方向、スイッチSを
側に接続したとき、
間のダイオードが順方向で、
間のダイオードが逆方向となり、電荷移動が起こらなくなったとき、電流が流れず抵抗の電圧はゼロで、
間のコンデンサー以外の全てのコンデンサーの電圧は等しくなる。」 と書いておけば良いでしょう。電荷の移動がない状況で、スイッチSを
側に接続したとき、
間のダイオードは順方向で、G
間のコンデンサーの電圧は
となり、
の電位
は、
です。
この後、スイッチSを
側に接続したとき、電荷の移動がないので、
のままです。
間のダイオードは順方向で、
となります。
の電位は
なので、
間のコンデンサーの電圧は
です。従って、G
間のコンデンサーを除いて、全てのコンデンサー両端の電圧は
です。Gから
まで、電圧
のコンデンサー1個と、電圧
のコンデンサーが
個直列に並ぶので、 
......[答]
から
まで、電圧
のコンデンサーがN個直列に並び、
の電位は
なので、
......[答]
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側、
側と何度も繰り返し切り換えた結果、切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった。この状況において、スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた(
)。また、スイッチSを
側に接続したとき、点
と点
の電位は等しくなっていた(
)。スイッチSを
側に接続したときの点
，
の電位
，
をNと
で表せ。なお、点Gを電位の基準点(電位0)とせよ。
∴ 
，
