東大物理'11年前期[1]
図1のように、長さで質量の無視できる棒によってつながれた、質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。ただしとする。棒は物体Aおよび物体Bに対してなめらかに回転でき、棒が鉛直方向となす角をθ とする。はじめ、物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。一方、物体Bは物体Aの真上()から初速度0で右側へ動き始めた。その後の運動について以下の設問に答えよ。なお、重力加速度の大きさをgとして、物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。また、棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。

Ⅰ　まず、物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。
(1) 物体Bが動き出してからしばらくの間は、物体Aは壁に接したままであった。この間の物体Bの速さvを、θ を含んだ式で表せ。
(2) (1)のとき、棒から物体Bにはたらく力Fを、θ を含んだ式で表せ。棒が物体Bを押す向きを正とする。
(3) において、物体Aが壁から離れて床の上をすべり始めた。を求めよ。
(4) における物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。
(5) 物体Bが物体Aの真横()にきたときの、物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。
(6) に達した直後に、物体Bが床と完全弾性衝突した。その後、物体Bが一番高く上がったときであった。を求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

Ⅱ　次に、物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度は、において、物体Aが壁から離れた。これより、物体Aと床との間の静止摩擦係数μを求めよ。


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解答　転倒の問題に見えますが、モーメントを考えるまでもない不等速円運動の問題です。運動量保存と力学的エネルギー保存を考えるだけでOK。

Ⅰ(1) 床を位置エネルギーの基準に取ります。のときの物体Bの位置エネルギーはです。このとき、AもBも停止していて運動エネルギーはありません。棒が鉛直方向となす角がθ のときのBの速さをvとして、Bの運動エネルギーは，Aには運動エネルギーはなく、Bの位置エネルギーは、，力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答]
(2) 棒に沿ってAに向かう方向(物体Bの円運動の向心方向)に物体Bが受ける力は、と、重力の鉛直方向成分
物体Bの運動方程式は、
(1)の結果より、
∴ ......[答]
(3) 物体Aが壁から受ける右向きの垂直抗力をとすると、物体Aに水平方向に働く力は、と、棒から受ける力Fの水平成分です。これらの力のつり合いより、
∴
物体Aが壁から離れるとき(物体Aと床との間に摩擦がないので、垂直抗力がなくなった時点で、物体Aは壁から離れます)， ()，より、(2)の結果を用いて、
∴ ......[答]
(4) のとき、物体Bの速さは、(1)(3)の結果を用いて、
物体Bの速度と水平方向とのなす角はαで、物体Bの速度の水平成分は、
物体Bの運動量の水平成分Pは、
......[答]
(5) 物体Aが離れる瞬間のAの速度は0で運動量も0です。
物体Bが物体Aの真横に来たとき、物体Aと物体Bはともに速さVで水平方向に動いていて、この方向の運動量保存より、
∴ () ......[答]
(6) 物体Bと床との衝突では力学的エネルギーは失われません。最高点では、物体Bと物体Aは同じ速度になり、この速度をとすると、AとB合わせて運動エネルギーは，物体Bの位置エネルギーは，のときと、物体Bと床との衝突後の最高点()のときとの力学的エネルギー保存より、
水平方向の運動量保存より、
　∴
() ......[答]

Ⅱ　棒が鉛直方向となす角がθ のとき、物体Aが床から受ける垂直抗力を鉛直上向きにとします。物体Aが鉛直方向に受ける力は、と、重力，棒から受ける力の鉛直成分です。これらの力のつり合いより、
∴
物体Aが壁から離れたあと、物体Aが水平方向に受ける力は、棒から受ける力の水平成分と静止摩擦力で、これらの力のつり合いより、静止摩擦力はに等しくなります。物体Aが滑り出す限界で、静止摩擦力は最大静止摩擦力になります。
として、
Ⅰ(2)より、
として、
∴ ......[答]


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