東京大学2018年前期物理入試問題

東京大学2018年前期物理入試問題

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[1]　図1-1のように水平な床の上に質量Mの台がある。台の中央には柱があり、柱上部の点Pに質量mの小球を長さLの伸び縮みしない糸で吊るした振り子が取り付けられている。床に固定されたx軸をとり、点Oを原点、水平方向右向きを正の向きとする。小球と糸は、柱や床に接触することなくx軸を含む鉛直面内を運動するものとする。また、床と台の間に摩擦はなく、台は傾くことなくx軸方向に運動するものとする。以下の設問に答えよ。ただし、重力加速度の大きさを

とし、小球の大きさ、糸の質量、および空気抵抗は無視できるとする。

Ⅰ　図1-1のように、振り子の糸がたるまないように小球を鉛直方向から角度

(

)の位置まで持ち上げ、台と小球が静止した状態から静かに手を放したところ、台と小球は振動しながら運動した。

(1) 小球が最初に最下点を通過するときの、小球の速度のx成分を求めよ。

(2) ある時刻における台の速度のx成分をV，小球の速度のx成分をvとする。このとき、点Pから距離

だけ離れた糸上の点の速度のx成分を、V，v，

，Lを用いて表せ。

(3) 点Pからの距離が

の糸上の点Qは、x軸方向には運動しない。

を、M，m，Lを用いて表せ。

(4) 角度

が十分小さい場合の台と小球の運動を考える。この運動の周期

は、点Qから見た小球の運動を考察することで求めることができる。周期

を、M，m，

，Lを用いて表せ。ただし、

が十分に小さいため、点Qの鉛直方向の運動は無視できるとする。また、

が十分小さいときに成り立つ近似式、

を用いてよい。

Ⅱ　時刻

で台と小球が静止し、振り子が鉛直下向きを向いている。このとき、小球は床からの高さhの位置にある。この状態から図1-2のように、時刻

で台が加速度a (

)でx軸の正の向きに等加速度運動するように、台に力

を加え続けた。その結果、時刻

で、小球の高さがはじめて最大となった。

(1) 時刻

での小球の高さを、L，h，

，aを用いて表せ。

(2) 時刻

から

までの間に、力

がした仕事を、M，m，

，a，

，Lを用いて表せ。

(3) 台に加えた力

のグラフとして最も適切なものを、図1-3のア～カから一つ選んで答えよ。

(4) 時刻

で、台に力を加えるのを止めたところ、台と小球はその後も運動を続けた。時刻

における糸上の点Qの速度のx成分を求めよ。また、aが

に比べて十分に小さいとき、時刻

における点Qから見た小球の振動の周期

を、M，m，

，Lを用いて表せ。ただし、

が十分小さいときに成り立つ近似式、

を用いてよい。

[解答へ]

[2]　真空中に置かれた、ばねを組み込んだ平行板コンデンサーに関する以下の設問に答えよ。ただし、真空の誘電率を

とし、ばね自身の誘電率による電気容量の変化は無視できるとする。また、金属板は十分に広く端の効果は無視できるものとし、金属板間の電荷の移動は十分に速くその移動にかかる時間も無視できるものとする。さらに、金属板の振動による電磁波の発生、および重力の影響も無視できるとする。

Ⅰ　図2-1のように、同じ面積Sの2枚の金属板からなる平行板コンデンサーが電源につながれている。2枚の金属板は、ばね定数kの絶縁体のばねでつながれており、上の金属板はストッパーで固定されている。下の金属板は質量mをもち、上の金属板と平行のまま上下に移動し、上の金属板との間隔を変化させることができる。

電源の電圧をVにしたところ、ばねは自然長からわずかに縮み、金属板の間隔がdとなる位置で静電気力とばねの弾性力がつりあい、下の金属板は静止した。

(1) 金属板間にはたらいている静電気力の大きさを求めよ。

(2) ばねに蓄えられている弾性エネルギーを求めよ。

(3) この状態から、下の金属板を引っ張り、上の金属板との間隔をdから

までわずかに広げて放すと、下の金属板はつりあいの位置を中心に単振動した。この単振動の周期を求めよ。ただし、

が1より十分小さい実数αに対して成り立つ近似式、

を用いてよい。

[補足説明]　Ⅰ(3)において、電源の電圧はVで一定に保たれている。

Ⅱ　図2-2のような同じ面積Sの5枚の金属板からなる平行板コンデンサーを含む回路を考える。金属板1，2，4，5は固定されている。質量mをもつ金属板3は、金属板4にばね定数kのばねでつながれており、ほかの金属板と平行のまま、上下に移動することができる。金属板2，3，4には、それぞれ、

，

の電荷が与えられている。金属板1と5は、図2-2に示すような電源と二つのスイッチを含んだ回路に接続されている。はじめ、スイッチ1は閉じ、スイッチ2は開いており、電源の電圧は0であった。このとき、5枚の金属板は静止しており、隣り合った金属板の間隔はすべて

で、ばねは自然長になっていた。

まず、電源の電圧を0から小さな値V (

)までゆっくり変化させた。この過程で金属板3はつねに力のつり合いを保ちながら移動し、金属板1と金属板5にはそれぞれ

，

の電荷が蓄えられた。

(1) このとき、金属板3の元の位置からの変位xを、

，Q，q，k，Sを用いて表せ。ただし、図2-2中の下向きをxの正の向きとする。

(2) このときの

を全電気容量と呼ぶ。

を、

，Q，k，S，

を用いて表せ。

(3) 次にスイッチ1を開きスイッチ2を閉じると金属板3は単振動した。この運動において、金属板3の図2-2の位置からの変位がxのときの金属板5の電荷を、Q，x，

を用いて表せ。ただし、図2-2中の下向きをxの正の向きとする。

(4) 設問Ⅱ(3)の単振動の周期を求めよ。

[補足説明]　Ⅱにおいて、ばね定数kは十分に大きいものとする。

[解答へ]

[3]　図3のように、鉛直方向に立てられた3つの円柱状の容器A，容器B，容器Cが管でつながれている。3つの円柱の断面積は等しく、全てSである。容器内には密度が一様な液体が入っており、液体は管を通して3つの容器の間を自由に移動できる。容器Aと容器Bの上端は閉じられ、容器Cの上端は開いている。容器Aの液面より上は何もない空間(真空)であり、容器Bの液面より上には単原子分子の理想気体が入っている。以下の設問に答えよ。ただし、気体と液体および気体と容器の間の熱の移動はないものとする。また、各容器の液面は水平かつつねに管より上にあり、液体の蒸発や体積の変化は無視できるものとし、容器Bの気体のモル数はつねに一定であるとする。

Ⅰ　最初、図3のように容器A，容器Bの液面が容器Cの液面に比べてそれぞれ