東大物理'19年前期[3]
光の屈折に関する以下の設問Ⅰ，Ⅱに答えよ。問題文中の屈折率は真空に対する屈折率(絶対屈折率)とする。また、角度は全てラジアンで表す。光源からは全方位に光が放射されているものとする。光の反射は無視してよい。
Ⅰ 図3-1に示すように、媒質1(屈折率
)と媒質2(屈折率
)の境界での光の屈折を考える。境界は点Oを中心とする半径rの球面の一部であり、左に凸とする。点Oと光源(点C)を通る直線をx軸とし、球面がx軸と交わる点をBとする。光源は点Bから左に
だけ離れており、そこから発した図中の太矢印方向の光線は、x軸から高さhの球面上の点Pで屈折する。このときの入射角を
，屈折角を
とする。境界の右側から光源を見ると、あたかも光源が点A(点Bから左に
だけ離れた位置)にあるように見える。本設問Ⅰおよび次の設問Ⅱでは、これを「見かけ上の光源」と呼ぶことにする。以下、入射角が微小となる光線を考える。すなわち、図中の角度
，
，
，
，ϕについて微小角度βに対する近似式
が成り立ち、
，
と近似できる場合を考える。以下の問いに答えよ。 (2) 
，
をそれぞれ
，
，ϕの中から必要なものを用いて表せ。 (3) 
，
，ϕをそれぞれ
，
，r，hの中から必要なものを用いて表せ。 (4) 問(1)～(3)で得た関係式を組み合わせることで(式1)が導かれる。
，
を用いて空欄
，
を埋め、この式を完成させよ。 
･･･(式1)
Ⅱ(1) 図3-3に示すように、屈折率
の媒質1に光源があり、屈折率
の媒質2に観察者がいる。媒質1と媒質2の境界は平面であり、(式1)においてrが非常に大きい場合(
)とみなすことができる。境界から光源までの距離を
，境界から観察者までの距離を
，光源から観察者までの距離を
とするとき、観察者から設問Ⅰで述べた「見かけ上の光源」までの距離を
，
，
，
を用いて表せ。
(3) 設問Ⅱ(2)で置いた板を取り除いたのち、媒質1と媒質2の境界を図3-5の(A)または(B)のように変形させた。変形した部分は半径rの球の一部とみなすことができる。ただし、境界面の最大変位δは
，
に比べて十分小さく無視してよい。いま、
，
，
，
とする。このとき、変形した部分を通して見ると、観察者から4mの位置に「見かけ上の光源」が見えた。この場合の球面は下に凸[図3-5(A)]、または上に凸[図3-5(B)]のうちのいずれであるか。(A)または(B)の記号で答えよ。さらに、rの値を求めよ。(4) 設問Ⅱ(3)の状況で、観察者の位置に厚さの無視できる薄いレンズを一つ置き、その上から見たところ、「見かけ上の光源」が光源の位置(レンズから3mの位置)に見えた。このとき、凸レンズと凹レンズののどちらを用いたか答えよ。また、このレンズの焦点距離を求めよ。
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解答 考えるところはありません。言われた通りに解答するだけです。
Ⅰ(1) 屈折の法則より、
，
，
として、
......[答]
(2) 図3-1より、
，
......[答]
(3) 図3-1において、
，
より、
，
，
，
，
，
より、
，
，
......[答]
(4) (1)の結果より、
これに、(2)，(3)の結果を代入することにより、
∴ 
･･･(式1) [ア] 
[イ] 
......[答]
(5) 図3-2(A)と図3-1との違いは、(2)の
，
が、
，
となる点です。よって、(式1)は、図3-2(A)では、 
......[答] ･･･①図3-2(B)と図3-1との違いは、(2)の
，
が、
，
となる点です。よって、(式1)は、図3-2(B)では、 
......[答] ･･･②
Ⅱ(1) (式1)で
とすると、 
∴ 
･･･③③は、①，②で
としても得られます。本問では、③を、屈折率
の媒質中に光源があって、屈折率
の媒質中に観察者がいる場合について、光源までの真の距離
と、「見かけ上の光源」までの距離
の関係式として考えよう、ということになります。
図3-3では、③で
とすると、「見かけ上の光源」までの距離は、
となります。観察者から「見かけ上の光源」までの距離は、 
......[答]
(2) 屈折率
の透明板内最下部に光源があり、これを屈折率
の媒質2から見るときの「見かけ上の光源」までの距離は、③で
とすると、
このとき、観察者から「見かけ上の光源」までの距離は、(1)の結果より、
......[答]
(3) 図3-5[A]では、光源の方に向って凸になるので、観察者から「見かけ上の光源」までの距離を4として、(式1)において、
，
，
，
とすると、 
となってしまうので不適です。
図3-5[B]では、光源の方に向って凹になり、①でも②でも同じ式であって、ここで、
，
，
，
とすると、となるので、この場合の球面は(B) ......[答]，また、
......[答]
(4) レンズの公式：
において、
，
(像が光源側にできる)とすると、 よって、
となり、レンズは凹レンズ ......[答]，その焦点距離は、12[m] ......[答]
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を
，
を用いて表せ。
(5) 媒質1と媒質2の境界が右に凸の球面の場合を問(1)～(4)と同様に考える。このとき、光源が点Oより左側になる場合[図3-2(A)]と、右側にある場合[図3-2(B)]が考えられる。それぞれの場合に対し、
，
，r，
，
の間に成り立つ関係式を(式1)と同様の形で表せ。
の透明な板を図3-4に示すように境界の上に置くことで、観察者から「見かけ上の光源」までの距離を
にすることができた。このとき、板の厚さdを求めよ。また、
と
，
の大小関係を示せ。ただし、
，
，
はすべて異なる値とする。
，
，
はすべて異なるので、
なので、
または
......[答]
∴ 
