東大物理'19年前期[3]

光の屈折に関する以下の設問T,Uに答えよ。問題文中の屈折率は真空に対する屈折率(絶対屈折率)とする。また、角度は全てラジアンで表す。光源からは全方位に光が放射されているものとする。光の反射は無視してよい。

T 図3-1に示すように、媒質1(屈折率)と媒質2(屈折率)の境界での光の屈折を考える。境界は点Oを中心とする半径rの球面の一部であり、左に凸とする。点Oと光源(C)を通る直線をx軸とし、球面がx軸と交わる点をBとする。光源は点Bから左にだけ離れており、そこから発した図中の太矢印方向の光線は、x軸から高さhの球面上の点Pで屈折する。このときの入射角を,屈折角をとする。
境界の右側から光源を見ると、あたかも光源が点A(Bから左にだけ離れた位置)にあるように見える。本設問Tおよび次の設問Uでは、これを「見かけ上の光源」と呼ぶことにする。以下、入射角が微小となる光線を考える。すなわち、図中の角度ϕについて微小角度βに対する近似式が成り立ち、と近似できる場合を考える。以下の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) をそれぞれϕの中から必要なものを用いて表せ。
(3) ϕをそれぞれrhの中から必要なものを用いて表せ。
(4) (1)(3)で得た関係式を組み合わせることで(1)が導かれる。を用いて空欄を埋め、この式を完成させよ。
 ・・・(1)
(5) 媒質1と媒質2の境界が右に凸の球面の場合を問(1)(4)と同様に考える。このとき、光源が点Oより左側になる場合[3-2(A)]と、右側にある場合[3-2(B)]が考えられる。それぞれの場合に対し、rの間に成り立つ関係式を(1)と同様の形で表せ。


U(1) 3-3に示すように、屈折率の媒質1に光源があり、屈折率の媒質2に観察者がいる。媒質1と媒質2の境界は平面であり、(1)においてrが非常に大きい場合()とみなすことができる。境界から光源までの距離を,境界から観察者までの距離を,光源から観察者までの距離をとするとき、観察者から設問Tで述べた「見かけ上の光源」までの距離をを用いて表せ。
(2) 設問U(1)の状況で屈折率の透明な板を図3-4に示すように境界の上に置くことで、観察者から「見かけ上の光源」までの距離をにすることができた。このとき、板の厚さdを求めよ。また、の大小関係を示せ。ただし、はすべて異なる値とする。
(3) 設問U(2)で置いた板を取り除いたのち、媒質1と媒質2の境界を図3-5(A)または(B)のように変形させた。変形した部分は半径rの球の一部とみなすことができる。ただし、境界面の最大変位δに比べて十分小さく無視してよい。いま、とする。このとき、変形した部分を通して見ると、観察者から4mの位置に「見かけ上の光源」が見えた。この場合の球面は下に凸[3-5(A)]、または上に凸[3-5(B)]のうちのいずれであるか。(A)または(B)の記号で答えよ。さらに、rの値を求めよ。
(4) 設問U(3)の状況で、観察者の位置に厚さの無視できる薄いレンズを一つ置き、その上から見たところ、「見かけ上の光源」が光源の位置(レンズから3mの位置)に見えた。このとき、凸レンズと凹レンズののどちらを用いたか答えよ。また、このレンズの焦点距離を求めよ。


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解答 考えるところはありません。言われた通りに解答するだけです。

T(1) 屈折の法則より、として、 ......[]

(2) 3-1より、 ......[]

(3) 3-1において、より、より、 ......[]

(4) (1)の結果より、
これに、(2)(3)の結果を代入することにより、

 ・・・(1) []  [] ......[]

(5) 3-2(A)と図3-1との違いは、(2)が、となる点です。よって、(1)は、図3-2(A)では、
......[] ・・・@
3-2(B)と図3-1との違いは、(2)が、となる点です。よって、(1)は、図3-2(B)では、
......[] ・・・A

U(1) (1)とすると、
 ∴  ・・・B
Bは、@,Aでとしても得られます。本問では、Bを、屈折率の媒質中に光源があって、屈折率の媒質中に観察者がいる場合について、光源までの真の距離と、「見かけ上の光源」までの距離の関係式として考えよう、ということになります。
3-3では、Bでとすると、「見かけ上の光源」までの距離は、となります。観察者から「見かけ上の光源」までの距離は、
......[]

(2) 屈折率の透明板内最下部に光源があり、これを屈折率の媒質2から見るときの「見かけ上の光源」までの距離は、Bでとすると、
このとき、観察者から「見かけ上の光源」までの距離は、(1)の結果より、

はすべて異なるので、
......[]
なので、または ......[]

(3) 3-5[A]では、光源の方に向って凸になるので、観察者から「見かけ上の光源」までの距離を4として、(1)において、とすると、

となってしまうので不適です。
3-5[B]では、光源の方に向って凹になり、@でもAでも同じ式であって、ここで、とすると、

 ∴
となるので、この場合の球面は(B) ......[],また、 ......[]

(4) レンズの公式において、 (像が光源側にできる)とすると、
よって、となり、レンズは凹レンズ ......[],その焦点距離は、12[m] ......[]



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