東京大学2019年前期物理入試問題


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[1] 水平な床面上にとったx軸に沿って動く台車の上の物体の運動について以下の設問T,Uに答えよ。

T 図1-1に示すように、台車の上にばね定数kを持ち質量の無視できるばねを介して質量mの物体が取り付けられており、物体は台車上を滑らかに動く。台車に固定された座標軸yを、ばねの自然長の位置を原点として、x軸と同じ向きにとる。ばねはy軸方向にのみ伸び縮みし、ばねと台車は十分長い。台車はx軸方向に任意の加速度aで強制的に運動させることができる。として以下の設問に答えよ。

       表1-1
 時刻t台車の加速度a
加速区間0
等速区間0
減速区間
(1) 台車が,物体がで静止している状態から、台車を表1-1に示す加速度で強制的に運動させる。加速度の大きさは定数である。時刻における台車の速度、および時刻からまでの間に台車が移動する距離を求めよ。
(2) 物体がで静止している状態から、表1-1 (nは自然数)として台車を動かす。時刻における物体のy座標および台車に対する相対速度を求めよ。


     表1-2

時刻t台車の加速度a
加速区間0
減速区間T
(3) 次に台車を止めた状態で物体を ()にいったん固定したのち、で物体を静かに放し、表1-2に示す加速度で台車を強制的に運動させる。
加速度の大きさがある定数のとき、時刻において物体のy座標はとなり、台車に対する物体の相対速度も0となる。の値およびにおける物体のy座標を求めよ。

U 手のひらの上に棒を立て、棒が倒れないように手を動かす遊びがある。このしくみを図1-2に示す倒立振子で考える。倒立振子は質量の無視できる変形しない長さの細い棒の先端に質量mの質点を取り付けたものとし、台車上の点Oを支点としてx軸を含む鉛直面内で滑らかに動くことができる。倒立振子の傾きは鉛直上向きから図1-2の時計回り角度θ(ラジアン)で表す。θの大きさは十分に小さく、の近似が成り立つ。台車は倒立振子の運動の影響を受けることなく任意の加速度aで強制的に動かせるものとする。重力加速度の大きさをとして以下の設問に答えよ。
(1) 台車が加速度aで加速しているとき、台車上で見ると、θだけ傾いた倒立振子の先端の質点には、図1-2に示すように重力と慣性力が作用している。質点に働く力の棒に垂直な成分f θamを用いて表せ。ただし、f の正の向きはθが増える向きと同じとする。

(2) 時刻で台車は静止しており、倒立振子を傾けて静止させた状態から始まる運動を考える。時刻で台車が静止し、かつ倒立振子がで静止するようにしたい。そのために倒立振子を図1-3に示すように運動させる。すなわち単振動の半周期分の運動でから0を通過してに至り、続いてから振幅の異なる単振動の半周期分の運動ののち、においてに戻り静止する。このような運動となるように加速度aを変化させる。

以下の式中の空欄からに当てはまる式を選択肢@からPの中から選べ。選択肢は繰り返し使って良い。また空欄からに当てはまる数式を書け。

時刻からの間のθ
と表される。このように単振動する質点にはたらく復元力F
である。この運動を実現するためには設問U(1)で求めたf Fと等しければよいので加速度aは次の式となる。
この式の第1項が単振動の加速度と同じ形であることを考慮すると、時刻からの台車の速度の変化を用いて
となる。
時刻からの運動についても単振動の半周期分であるので同様に考えれば、この区間の台車の速度の変化を用いて
となる。よって
を得る。
@   A   B   C   D   E   F 
0  G π  H   I   J   K   L   M   N   O   P 

[解答へ]


[2] 図2-1左に示すように、面積Sの薄い円板状の電極2枚を距離dだけ隔てて平行に配置し、誘電率ε,抵抗率ρの物質でできた面積S,厚さdの一様な円柱を電極間に挿入した。電極と円柱はすき間なく接触しており、電場は向かい合う電極間にのみに生じると考えてよい。電極の抵抗は無視できるものとする。この電極と円柱の組み合わせは、図2-1右に示すように、並列に接続された抵抗値Rの抵抗と電気容量Cのコンデンサーによって等価的に表現することができる。以下の設問に答えよ。

T RCをそれぞれερSdのうち必要なものを用いて表せ。

U 図2-2に示すように上記の電極と円柱の組み合わせをN個積み重ねて接触させ、素子Xを構成した。スイッチを切り替えることによって、この素子Xに電圧の直流電源、抵抗値の抵抗、電圧の交流電源のいずれかひとつを接続することができる。ωは角周波数、t は時間である。以下の設問(1)(3)にはερは用いずに、NRCのうち必要なものを含む式で解答せよ。
(1) はじめにスイッチを端子に接続して素子Xに直流電圧を加えた。スイッチを操作してから十分に長い時間が経過したとき、直流電源から素子Xに流れる電流の大きさと、素子Xの上端に位置する電極Eに蓄積される電気量を求めよ。
(2) 続いてスイッチを端子端子からに切り替えたところ、抵抗と素子Xに電流が流れた。ただしスイッチの操作は十分に短い時間内に行われ、スイッチを操作する間に素子X内の電極の電気量は変化しないものとする。スイッチを操作してから十分に長い時間が経過したところ、電流が流れなくなった。スイッチを端子に接続してから電流が流れなくなるまでに抵抗で生じたジュール熱を求めよ。また、素子Xを構成する電極と円柱の組み合わせの個数Nを増やして同様の操作を行ったとき、抵抗で発生するジュール熱はNの増加に対してどのように変化するかを次の@〜Cから一つ選べ。
@ 単調に増加する  A 単調に減少する  B 変化しない
C 上記@〜Bのいずれでもない
(3) 次にスイッチを端子からに切り替え、素子Xに交流電圧を加えた。スイッチを操作してから十分に長い時間が経過したとき、交流電源から素子Xへ流れる電流を求めよ。

V 設問Uで用いた素子Xを構成する物質のεおよびρの値が未知であるとき、これの値を求めるためにブリッジ回路を用いる方法がある。図2-3のように素子X,設問Uの交流電源、交流電流計、3つの抵抗と1つのコンデンサーを配置し、交流ブリッジ回路を構成した。抵抗値と電気容量の大きさを調節したところ、交流電流計に電流が流れなくなった。このとき、図2-3のように各抵抗の抵抗値は,コンデンサーの電気容量はであった。次のからに入る適切な数式を書け。なお、JKLMは回路上の点を表す。

K-M間の電圧はである。このことを用いて、抵抗に流れる電流を、を含まない式で表すと、となる。一方、J-K間の電圧はであることから、J-L間を流れる電流をCRを含む式で表すととなる。以上のことから次式が得られる。
ただし、ωNsdのうち必要なものを用いて表すこと。
[解答へ]


[3] 光の屈折に関する以下の設問T,Uに答えよ。問題文中の屈折率は真空に対する屈折率(絶対屈折率)とする。また、角度は全てラジアンで表す。光源からは全方位に光が放射されているものとする。光の反射は無視してよい。

T 図3-1に示すように、媒質1(屈折率)と媒質2(屈折率)の境界での光の屈折を考える。境界は点Oを中心とする半径rの球面の一部であり、左に凸とする。点Oと光源(C)を通る直線をx軸とし、球面がx軸と交わる点をBとする。光源は点Bから左にだけ離れており、そこから発した図中の太矢印方向の光線は、x軸から高さhの球面上の点Pで屈折する。このときの入射角を,屈折角をとする。
境界の右側から光源を見ると、あたかも光源が点A(Bから左にだけ離れた位置)にあるように見える。本設問Tおよび次の設問Uでは、これを「見かけ上の光源」と呼ぶことにする。以下、入射角が微小となる光線を考える。すなわち、図中の角度ϕについて微小角度βに対する近似式が成り立ち、と近似できる場合を考える。以下の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) をそれぞれϕの中から必要なものを用いて表せ。
(3) ϕをそれぞれrhの中から必要なものを用いて表せ。
(4) (1)(3)で得た関係式を組み合わせることで(1)が導かれる。を用いて空欄を埋め、この式を完成させよ。
 ・・・(1)
(5) 媒質1と媒質2の境界が右に凸の球面の場合を問(1)(4)と同様に考える。このとき、光源が点Oより左側になる場合[3-2(A)]と、右側にある場合[3-2(B)]が考えられる。それぞれの場合に対し、rの間に成り立つ関係式を(1)と同様の形で表せ。


U(1) 3-3に示すように、屈折率の媒質1に光源があり、屈折率の媒質2に観察者がいる。媒質1と媒質2の境界は平面であり、(1)においてrが非常に大きい場合()とみなすことができる。境界から光源までの距離を,境界から観察者までの距離を,光源から観察者までの距離をとするとき、観察者から設問Tで述べた「見かけ上の光源」までの距離をを用いて表せ。
(2) 設問U(1)の状況で屈折率の透明な板を図3-4に示すように境界の上に置くことで、観察者から「見かけ上の光源」までの距離をにすることができた。このとき、板の厚さdを求めよ。また、の大小関係を示せ。ただし、はすべて異なる値とする。
(3) 設問U(2)で置いた板を取り除いたのち、媒質1と媒質2の境界を図3-5(A)または(B)のように変形させた。変形した部分は半径rの球の一部とみなすことができる。ただし、境界面の最大変位δに比べて十分小さく無視してよい。いま、とする。このとき、変形した部分を通して見ると、観察者から4mの位置に「見かけ上の光源」が見えた。この場合の球面は下に凸[3-5(A)]、または上に凸[3-5(B)]のうちのいずれであるか。(A)または(B)の記号で答えよ。さらに、rの値を求めよ。
(4) 設問U(3)の状況で、観察者の位置に厚さの無視できる薄いレンズを一つ置き、その上から見たところ、「見かけ上の光源」が光源の位置(レンズから3mの位置)に見えた。このとき、凸レンズと凹レンズののどちらを用いたか答えよ。また、このレンズの焦点距離を求めよ。
[解答へ]



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