力学(力のモーメント)演習問題

力学(力のモーメント)演習問題

九大物理'02年[1]

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長さ

の棒の両端に、それぞれ質量

，

のおもりA，Bを取り付けた物体がある。これを最初、図1のように、Bを水平な床につけたまま、Aには水平方向右向きに力

を、Bには水平方向左向きに力

を加えることにより、鉛直方向から反時計回りに

だけ傾いた状態で静止させた。その後、力

と

を同時に取り去った。Bは床から離れることはなく、Bと床との接触は滑らかであるとする。運動中の物体の鉛直方向からの傾きを

とし、反時計回りを正とする。重力加速度の大きさを

とし、おもりの大きさ、棒の質量と太さ、空気の抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。

問1　力

と力

によりこの物体を

だけ傾いた状態で静止させているとき、棒からおもりにはたらく力は棒に平行であるとして次の小問に答えよ。

(1) 力

の大きさを

，

，gで表せ。

(2) おもりAに棒からはたらく力の大きさ

を

，

，gで表せ。

(3) おもりBに床からはたらく垂直抗力の大きさ

を

，

，gで表せ。

問2　この物体の重心GはAとBを結ぶ線上にある。重心GからBまでの距離

を

，

で表せ。

問3　力

と力

を同時に取り去った後、この物体には水平方向の力がはたらかないので、重心Gの速度

は鉛直方向の速度成分のみをもつ。一方、A，Bの速度は、重心Gの速度と、重心Gに対するそれぞれの相対速度の合成になる。A，Bの重心Gに対する相対運動は、重心Gを中心とする回転運動である。速度の水平方向成分は右向きを、鉛直方向成分は上向きをそれぞれ正とし、また角速度は反時計回りを正として次の小問に答えよ。

(1) ある瞬間の相対運動の角速度を

，そのときの物体の鉛直方向からの傾きをθ とする。図2を参照してBの重心Gに対する相対速度

の鉛直方向成分

を

，

，θ，ω で表せ。

(2) Bが床から離れないので、Bの速度の鉛直方向成分は常に0となる。図3のように鉛直方向からの傾きがθ のとき、重心Gの速度は鉛直下向きで大きさが

であった。このときの相対運動の角速度ωを

，

，θ，Vで表せ。

(3) このときのBの速度の水平方向成分

，Aの速度の水平方向成分

と鉛直方向成分

を、

，

，θ，Vのうちから適当なものを用いてそれぞれ表せ。

問4　力

と力

を傾き

で取り去った後、物体の傾きはしだいに増加する。このとき力学的エネルギーは保存され、おもりAの位置エネルギーが減少した分だけ、おもりAとおもりBの運動エネルギーが増加する。力

と力

を取り去った後、Aが床に衝突する直前のAの速度の向きと大きさ

を求めよ。ただし、θ が

に達したときにAが床に衝突するものとし、速度の大きさは

，

，gで表せ。

[解答へ]

阪大物理'07年前期[1]

図のように、長さ

，質量Mの細く一様な剛体棒が、水平な床の上に床と角度

となるように置かれ、上端から

の位置で台のカドと接するように立てかけてある。台のカドは滑らかで、棒との間に摩擦力は働かない。床面はあらく、棒との間に摩擦力が働く。棒が床面に接する点をAとし、Aにおいて棒が床から受ける垂直抗力の大きさを

，摩擦力を

とする。また、棒が台のカドと接する点をBとし、棒に垂直な方向に働くBにおける抗力の大きさを

とする。

の正の方向は図に示す矢印の向きとする。また、棒と床面の間の静止摩擦係数をμ，重力加速度をgとする。棒の中心には重力

が働く。

Ⅰ．水平な外力を棒の中心に加えたところ、棒は静止したままであった。ただし、水平外力の大きさは棒の重さのp倍(

)とし、右向きに働くときに

とする。

問1　棒に働く力の、点Aのまわりのモーメントのつりあいより、

を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。

問2　棒に働く力のつりあいより、

を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。

問3　棒に働く力のつりあいより、

を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。

問4　

のときに棒が静止しているためのμの範囲を求めよ。

Ⅱ．次に、棒が動かないように手で支えてから、棒の中心に水平外力を加えた。手を棒から放すと、水平外力(

)と静止摩擦係数(μ)の大きさに応じて、棒は静止したままか運動を始めるかのいずれかである。棒が静止したままであるためには、次の3つの条件が同時に満たされなければならない。

(条件a)　台のカド(点B)から棒が離れない。
(条件b)　床から棒が離れない。
(条件c)　床に接する棒の端部が左にも右にもすべらない。

今の場合、条件bは、条件cが満たされているときには、必ず満たされている。

問5　左向きの大きな水平外力(

)を加えたときに、条件aが破れてしまう。条件aが満たされるための、pの範囲を求めよ。

問6　床の静止摩擦係数が小さいときに条件cが破れてしまう。棒の下端が左にすべらないためにμ，

，

が満たすべき条件式を適当に式変形すると、pとμの間の関係式として次のように表せる。(1)，(2)，(3)に適当な数を入れよ。

問7　同様にして、棒の下端が右にすべらないためにpとμが満たすべき条件は次式で表せる。(4)，(5)，(6)に適当な数を入れよ。

問8　条件a，b，cが同時に満たされて棒が静止したままであるためにpとμが満たすべき領域を、右図のグラフに斜線で示せ。ただし、グラフに記した直線や曲線のうち、必要なものを使うこと。さらに、グラフの中の

の値も答えよ。なお、

なる式は、

と変形される。この式は

と

を漸近線とする双曲線を表す。グラフ中の曲線はいずれも問6，問7の条件に対応する双曲線の一部になっている。

[解答へ]

阪大物理'10年後期[1]

図1のように、半径の等しい二つの円筒1と2が、互いに逆向きに同じ角速度で回転している。その上に質量M，幅が一定で長さ

の厚さを無視できる一様な板を水平に乗せたとき、この板がどのような運動をするか考察しよう。円筒の長さは板の幅より大きいとする。図1は板の重心Gを含み、円筒の回転軸に垂直な断面を表している。円筒は同じ高さで、回転軸を平行に距離

だけ離れて置かれ、板の長さ方向が円筒の回転軸に垂直になるように板を乗せた。円筒と板の接触は、円筒の回転軸に平行な方向には一様であるとすると、板の運動は図1で示した断面で考えることができる。図のように板の長さ方向に沿って水平方向にx軸をとり、板の運動はx軸上に限定されるとする。板と円筒1との接触の断面上の位置を点Pとし、円筒2との接触の断面上の位置を点Qとする。点Pと点Qの中点に原点Oをとり、図の右向きをxの正の向きとする。板と円筒の間の動摩擦係数は、接触位置の板と円筒の相対速度の大きさによらず

である。重力加速度の大きさをgとする。

Ⅰ．最初、板の重心Gが原点Oと一致するように板を乗せると、板は静止したままであった。

問1　円筒1と2が板に及ぼしている垂直抗力をそれぞれ

と

とし、鉛直方向の力のつり合い、重心Gのまわりの力のモーメントのつり合いを考え、

および

を求めよ。

次に、図2のように板の右端を手でゆっくり右方向(x軸の正の向き)に引っ張り、d (

)だけ移動させ静止させたところ、右端を引く力はFとなった。

問2　Fの大きさを求めよ。

問3　板をdだけ移動させるまでに、手が板にした仕事を求めよ。

その後、静かに手を離すと板は左右に往復運動を始めた。円筒の角速度は十分大きく、往復運動の速さは、接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて、十分に小さいとする。板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

問4　この往復運動の振幅および周期を求めよ。

問5　板の速さが最大となるときの重心Gの座標を求め、そのときの運動エネルギーを求めよ。

Ⅱ．図1の状態から、図3のように大きさが無視できる質量mのおもりを板の上に置くと、おもりは板の上をすべることなく、板と一緒に運動を始めた。前の運動と同じく、円筒の角速度は十分大きく、運動の速さは接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて十分に小さいとし、板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

問6　おもりを乗せた直後に、板とおもりとの全体の重心