コーシー・シュワルツの不等式
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，
が
において積分できるような関数であるとき、
この不等式を、コーシー・シュワルツの不等式と言う。
[証明] 
，
が
において積分できるような関数であって、この範囲で
が恒等的に0にはならないとします。
tを任意の実数として、
よって、
として、
(定積分と不等式を参照)
不等号の等号は、
におけるすべてのxについて、
であるときに成立します。
(∵ 
において
であって、
は恒等的に0ではない)，
，
とおくと、
この不等式が成り立つ条件は、
より、tに関する2次方程式：
が、相異なる2実数解をもたない(重解か2虚数解をもつ)こと(2次方程式の一般論を参照)で、2次方程式の判別式：
について、
∴ 
∴ 
(証明終)
例． 
を示す。
[解答] コーシー・シュワルツの不等式より、
辺々加え合わせて、
ここで、部分積分をするのですが、
としてしまうと面倒なので、
と見て以下のようにします。
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において、
より、