センター数学IA '06年第4問
袋A，B，C，Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A，B，C，Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれa，b，c，dとする。
(1) a，b，c，dの最大の数が3以下である場合は
通りあり、最大の数が4である場合は
通りある。
(2) a，b，c，dについて、
となる場合は
通りある。
(3) 出た数a，b，c，dによって、次のように得点を定める。
のときは、
点
それ以外のときは、0点
(i) 得点が1点となる確率は
であり、得点が4点となる確率は
である。
(ii) 得点の期待値は
点である。
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解答 (1) 最大の数が3以下であるのは、各袋から取り出される数が、1か、2か、3の3通りのどれかに限られるときです。
各袋3通りずつで、各袋のどの1通りについても、他の袋は3通りのどの数もあり得ます。
a，b，c，dの最大の数が3以下となる場合は、
通り(場合の数を参照)。
よって、[アイ]は81
4つの袋から出る数の出方は全部で、
通り。このうち最大の数が4となるのは、最大の数が3以下の場合の81通りを除いた、
通り(場合の数の技巧を参照)。
よって、[ウエオ]は175
(2) dが1から4のどの数であっても、
となるのは、a，b，cについて、
のいずれかの場合だから、a，b，c，dについて、
となる場合は、
通り。
よって、[カキ]は16
(3)(i) 得点が1点となるのは、
のときで、このとき
より、
これが1から4まで、4通りあります。得点が1点となる確率は、
よって、[ク]は1，[ケコ]は64
得点が4点となるのは、
のときで、このとき、
より、
，
です。b，cについて、
より、
の10通り。得点が4点となる確率は、
よって、[サ]は5，[シスセ]は128
(ii) 得点が2点となるのは、
のときで、a，dについて、
の3通りあります。
例えば、
，
のとき、b，cについて、
より、
の3通りで、
の3通りのどの1通りについても、
の3通りがあり得るので、a，b，c，dについて、
通り。
得点が2点となる確率は、
得点が3点となるのは、
のときで、a，dについて、
の2通りあります。
例えば、
，
のとき、b，cについて、
より、
の6通りで、
の2通りの各々についても、
の6通りがあり得るので、a，b，c，dについて、
通り。
得点が3点となる確率は、
得点の期待値は、
よって、[ソタ]は49，[チツテ]は128
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