センター数学IA '08年第3問
△ABCにおいて、
,
,
とする。
また、△ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、
であり、外接円Oの半径は
である。
外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点Dを
であるようにとる。
であるから、
とするとxは2次方程式

を満たす。
であるから
となる。
下の

には、次の
〜
のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
AC
AD
AE
BA
CD
ED
点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、
であるから、△ACEと△
は相似である。
これより、

である。また、
である。したがって

であり、△ACEの面積は
である。
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解答 △ABCにおいて、余弦定理より、
∴ 
(ア) 5 ......[答]
外接円の半径をRとして、正弦定理より、
∴ 
(イ) 5 (ウ) 2 (エ) 2 ......[答]
同一弧の上に立つ円周角は等しいから、
(オカ) 45 ......[答]
とすると、△ADCにおいて、余弦定理より、
整理して、
(キ) 2 (ク) 5 (ケコ) 15 ......[答]
これを解き、
を考慮して、
(サ) 3 (シ)5 ......[答]
接弦角の定理より、
・・・@
(ス)
......[答]
△ACEと△DAEは、
が共通で、@より、2角が等しくなるから相似です。
(セ)
......[答]
EC:EA=CA:AD=5:
より、
・・・A (ソ) 3 (タ) 5 (チ) 5 ......[答]
また、方べきの定理より、
・・・B
(ツ)
......[答]
Aより、
これと、
とをBに代入して、
両辺をEAで割り、
∴ 
(テト) 15 (ナ) 4 (ニ) 2 ......[答]
△ACEの面積は、
(ヌネ) 75 (ノ) 8 ......[答]
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