センター数学IA '11年第3問
点Oを中心とする円Oの円周上に4点A，B，C，Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
であるとする。
(1) 
，
とおくと、△ABCに着目して となる。また、△ACDに着目して
となる。よって、
，
であり、円Oの半径は
である。
また、四角形ABCDの面積は
である。
(2) 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると、
である。また、線分OEと辺ADの交点をFとすると、
であり、 である。
さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに垂線を下ろし、直線OGとの交点をHとする。4点E，G，
は同一円周上にある。
に当てはまるものを次の
～
から一つ選べ。 C，F 
H，D 
H，F 
H，A O，Aしたがって である。
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解答 (1)は問題集などでよく見かける問題です。ですが、本番では、(2)で難航した受験生が多かったのではないでしょうか？
途中で、BCが円Oの直径であることがわかってしまうので、右図のような図を描けば何でもないのですが、問題文とにらめっこになってしまうと行き詰まってしまいかねません。図が描きにくいのですが、図が描けたかどうかで勝負が分かれたと思います。
(1) 四角形ABCDは円に内接する四角形なので、対向する内角は互いに補角をなし、
･･･①(ア) 3 (イ) 5 ......[答]
△ACDにおいて余弦定理より、
･･･②(ウ) 1 (エ) 2 ......[答]
①，②より、
∴ 
(オ) 1 (カ) 2 ......[答]これより、
で、①より、 
，
(キ) 2 (ク) 1 ......[答]円Oの半径をRとして、正弦定理より、 ∴ 
(ケ) 7 ......[答]これで、BCが円Oの直径になっていること(点OはBC上の点)がわかるので、右図を描くことができます。
△ABCの面積
は、 △ACDの面積
は、 四角形ABCDの面積は、
(コ) 5 (サ) 3 ......[答]
(2) 
は、半径と接線のなす角で
です。 (シ) 9 (ス) 0 ......[答]同様に
，
(半径)，OE共通により、 △OAE≡△ODE
これより、OEとADは直交し、
です。(セ) 9 (ソ) 0 ......[答]また、△OAEと△OFAは相似なので、OA：OE＝OF：OA∴ 
･･･③(タ) 7 ......[答] 別解．△AEFの外接円を考えると、AEはこの円の直径、また、OAはこの円の接線です。方べきの定理より、
△EHOと△GFOはどちらも
を共有する直角三角形で相似です。これより、 この2角を弦HFの上に立つ円周角と見れば、E，G，H，Fは同一円周上の点です。(チ) ......[答] 別解．
より、この2角を直径EGの上に立つ円周角と見れば、E，G，H，Fは同一円周上の点です。
△EHOと△GFOが相似であることから、
OE：OH＝OG：OF
∴ 
(∵ ③)
(ツ) 7 ......[答] 別解．四角形EGHFの外接円に方べきの定理を適用して、
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