共通テスト数学IA '22年第4問 

(1) で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式
 ・・・@
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
であることがわかる。
また、@の整数解のうち、
x2桁の正の整数で最小になるのは
である。
(2) 次にで割ったときの余りと、で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず、
であり、また、とすると
である。これらより、で割ったときの余りと、で割ったときの余りがわかる。
(3) (2)の考察は、不定方程式
 ・・・A
の整数解を調べるために利用できる。
xyをAの整数解とする。の倍数であり、で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、でもでも割り切れる。は互いに素なので、の倍数である。
このことから、Aの整数解のうち、
x3桁の正の整数で最小になるのは
であることがわかる。
(4) で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
である。

解答 この問題も第3問と同様、最後の(4)は、時間があれば解答可能ですが、70分という制限時間では無理です。特に最後のナニヌネノの配点は2点です。イウから推量でテトをマークし、(4)は回避が得策です。

(1) で割ると1余るので、mを整数として、

 ・・・B
とおけます。問題文の@式は、
 ・・・@
@−Bより、
 ・・・C
は互いに素なので、kを整数として、
とおけます。xが正の整数で最小になるのは、のときで、
このとき、C,Bより、
ア 1 イウ 39 ......[]
また、x2桁の正の整数で最小になるのは、のときで、
このとき、Cより、
 ∴
エオ 17 カキク 664 ......[]
(2) です。
ケ 8 ......[]
Bを2乗すると、
 ・・・D
コ 5 ......[]
5で割ったときの余りは0であり、を割ったときの余りは1です。
(3) 問題文のA式より、
 ・・・A
A−Dより、
 ・・・E
は、で割り切れますが、Eよりでも割り切れます。は互いに素なので、の倍数で、lを整数として、
 ・・・F
とおけます。つまり、で割って、
 ∴
x3桁の正の整数で最小になるのは、のときで、
このとき、Fは、で、Eとより、
サシス 125 セソタチツ 12207 ......[]
(4) 上記の過程をそのまま繰り返すのでは討ち死にします。Fの511に置き換えると、
で割って、 ∴
より、xが正の整数で最小になるのは、のときで、
yは、としてEを使うのでは大変なので、パスカルの三角形風に簡易計算をして、

与不定方程式より、
テト 19 ナニヌネノ 95624 ......[]



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