共通テスト数学IA '22年第4問
(1) 
を
で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式 
･･･①の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
，
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
，
である。
(2) 次に
を
で割ったときの余りと、
で割ったときの余りについて考えてみよう。 まず、
であり、また、
とすると である。これらより、
を
で割ったときの余りと、
で割ったときの余りがわかる。 (3) (2)の考察は、不定方程式
･･･②の整数解を調べるために利用できる。x，yを②の整数解とする。
は
の倍数であり、
で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、
は
でも
でも割り切れる。
と
は互いに素なので、
は
の倍数である。
このことから、②の整数解のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは 
，
であることがわかる。
(4) 
を
で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式 の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
，
である。
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解答 この問題も第3問と同様、最後の(4)は、時間があれば解答可能ですが、70分という制限時間では無理です。特に最後のナニヌネノの配点は2点です。イウから推量でテトをマークし、(4)は回避が得策です。
(1) 
を
で割ると1余るので、mを整数として、
，
･･･③
･･･①①－③より、
･･･④
と
は互いに素なので、kを整数として、
，
とおけます。xが正の整数で最小になるのは、
のときで、
このとき、④，③より、 ア 1 イウ 39 ......[答]また、xが2桁の正の整数で最小になるのは、
のときで、
このとき、④より、 
∴ 
エオ 17 カキク 664 ......[答]
(2) 
です。 ケ 8 ......[答]
③を2乗すると、
･･･⑤コ 5 ......[答]
を5で割ったときの余りは0であり、
を
を割ったときの余りは1です。 (3) 問題文の②式より、
･･･②②－⑤より、
･･･⑥
は、
で割り切れますが、⑥より
でも割り切れます。
と
は互いに素なので、
は
の倍数(整数を参照)で、lを整数として、
･･･⑦とおけます。つまり、
で割って、 
∴ 
xが3桁の正の整数で最小になるのは、
のときで、
このとき、⑦は、
で、⑥と
より、 サシス 125 セソタチツ 12207 ......[答]
(4) 上記の過程をそのまま繰り返すのでは討ち死にします。⑦の5を11に置き換えると、
で割って、
∴ 
より、xが正の整数で最小になるのは、
のときで、
yは、
として⑥を使うのでは大変なので、パスカルの三角形風に簡易計算をして、与不定方程式より、
テト 19 ナニヌネノ 95624 ......[答]
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