共通テスト数学IA '25年第3問
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
(1) 3直線AD，BE，CFは1点で交わる。これを証明しよう。
直線ADとBEは平面ABED上にあり、平行でないので1点で交わる。その交点をPとする。
点Pは直線AD上にあり、直線ADは平面ABEDと平面
との交線であるから、点Pは平面
上にあることがわかる。
また、点Pは直線BE上にあり、直線BEは平面ABEDと平面
との交線であるから、点Pは平面
上にあることがわかる。
平面
と平面
との交線は直線CFであるから、点Pは直線CF上にもあることがわかる。したがって、3直線AD，BE，CFは点Pで交わる。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
(2) 五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
であるとする。また、6点A，B，C，D，E，Fはある1つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
(i) 平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：
である。したがって が成り立つ。よって
，
となる。
(ii) 平面BCFEと球面Sが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
となる。したがって
，
となる。
(iii) 
，
，
の大きさに着目すると、次の命題(a)，(b)，(c)の真偽の組み合わせとして正しいものは
であることがわかる。
(a) 平面ABEDと平面DEFは垂直である。
(b) 直線DEは平面ACFDに垂直である。
(c) 直線ACと直線DEは垂直である。
の解答群
| |  |  |  |  |  |  |  |  |
| (a) | 真 | 真 | 真 | 真 | 偽 | 偽 | 偽 | 偽 |
| (b) | 真 | 真 | 偽 | 偽 | 真 | 真 | 偽 | 偽 |
| (c) | 真 | 偽 | 真 | 偽 | 真 | 偽 | 真 | 偽 |
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解答 立体図形の問題ですが、ほぼ、方べきの定理とその証明方法を思い出せば片付きます。最後だけ立体図形として考える必要があります。なお、平面と直線を参照してください。
(1) 点Pは、直線ADと直線BEの交点です。直線ADは、平面ABEDと平面ACFDの交線です。ア 2 ......[答]
直線BEは平面ABEDと平面BCFEの交線です。イ 3 ......[答]
平面ACFDと平面BCFEの交線は直線CFなので、点PはCF上にもあり、3直線AD，BE，CFは点Pで交わります。
(i) 4点A，B，E，Dが円周上に位置する状況を右図に示します。四角形ABEDは円に内接するので、∠Bと∠Dは互いに補角をなします(円と図形を参照)。よって、
，
は共通で、△PABと△PEDは2角が等しく△PAB∽△PED相似比は、AB：ED = 3：9 = 1：3です。よって、
，
より、 
･･･①
･･･②
(ii) 方べきの定理より、
よって、
∴ 
ケ 3 ......[答]△PFEと△PBCの相似比より、 EF：CB = PE：PC = (PB+BE)：PC
EF：3 = (4+11)：3 ∴ EF = 15 コサ 15 ......[答]
△PDFと△PCAの相似比より、
DF：CA = PF：PA = (PC+CF)：PA
DF：3 = (3+17)：5 ∴ DF = 12 シス 12 ......[答] 
(iii) 右図に四面体PDEFを示します。この方向から見ると△PDFと△PEFが見えていて、△DEFと△PDEはその裏側にあります。より、△DEFと△PDEは、それぞれ、
，
を直角とする直角三角形です。また、 より、
は鈍角です。よって、△PDEと△DEF，つまり、平面ABEDと平面DEFは垂直ではなく、(a)は偽です。
直線DEは、△PDF，つまり、平面ACFD上の交わる2直線DP，DFと垂直なので、平面ACFDと垂直で、(b)は真です。
直線ACは平面ACFD上の直線で、直線DEと平面ACFDが垂直であれば、直線DEは平面ACFD上の直線とも垂直で、(c)は真です。
セ 4 ......[答]
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，②へ代入し、
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