センター数学IIB '06年第2問
aを正の実数として、
，
をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
：
：
また、
と
の両方に接する直線をlとする。
(1) 点
における
の接線の方程式は
であり、この直線が
に接するのは
のときである。
したがって、直線lの方程式は
であり、lと
の接点の座標は
である。
(2) 
と
の交点をPとすると、Pの座標は
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
である。直線mとy軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲は
である。
のとき、
の
の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Sはaを用いて
と表される。
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解答 (1) 
の方程式を微分すると、
点
における
の接線の傾きは、
点
における
の接線は、
整理して、
･･･①
よって、[ア]は2，[イ]は2
①と
の方程式を連立すると、
整理して、
･･･②
①と
が接するから、②の判別式Dは0
∴ 
よって、[ウ]は1
従って、lの方程式は、①において、
として、
･･･③
よって、[エ]が2，[オ]が1
のとき、②は、
∴ 
③で
として、
よって、lと
の接点の座標は、
よって、[カキ]が2a，[ク]が1，[ケコ]が4a，[サ]が1
(2) 
と
の方程式を連立すると、
より、
Pの座標は、
よって、[シ]は1
mの傾きは、③の傾きと等しく2 (2直線の平行・垂直を参照)
点Pを通る傾き2の直線として、m：
整理して、m：
よって、[ス]は2，[セ]は2，[ソ]は1
直線mとy軸との交点のy座標が正だから、
より、
よって、[タ]は1
求める面積は、
よって、[チ]は1，[ツ]は3，[テ]は2，[ナニ]は2a
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