センター数学IIB '08年第4問　
四面体OABCにおいて、，である。，，とおく。
(1) であり、である。
また、，である。

(2) 直線AB上の点Pをであるようにとると
　　　
となり、点Pは線分ABを1：に内分する。また、であり、である。
は三角形の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形を含む平面に垂直である。ただし、については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
ABC　　 OBC　　 OAC　　 OAB
三角形の面積はであるから、四面体OABCの体積はである。


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解答　この問題の基礎事項は、空間ベクトルを参照してください。四面体の体積を求める問題ですが、特殊な技巧を使うことなく教科書レベルの知識で解答できるように工夫されている良い問題です。

(1) より、

∴
(ア) 3　(イ) 1　(ウ) 2　......[答]
より、
∴
(エ) 3　(オ) 2　......[答]
より、
∴
(カ) 1　......[答]

(2) Pは線分AB上の点だから、tを実数として、とおけます(共線条件を参照)。

より、

∴
(キ) 1　(ク) 3　(ケ) 2　(コ) 3　......[答]
より、点Pは線分ABを2：1，つまり、1：に内分する点。
(サ) 1　(シ) 2　......[答]
(ス) 0　......[答]

∴
(セソ) 15　(タ) 3　......[答]
より、は，で張られる平面に垂直です。つまり、直線CPは、三角形OABを含む平面に垂直です。
(チ) 　......[答]
(ツテ) 15　(ト) 4　......[答]
四面体OABCの体積は、
(ナ) 5　(ニヌ) 12　......[答]


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