共線条件 関連問題
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三角形OABがあるとき(
，
が1次独立であるとき)、
で指定される点Pが直線OA上に存在する条件は、
この条件をこのウェブサイトでは、共線条件と言うことにします。
点Pと点Aが一致するときには、
，
のとき、
となりますが、
が満たされています。
点Pと点Bが一致するときには、
，
のとき、
となりますが、
が満たされています。
点Pが線分ABをm：nに内分する点であるとき、
(ベクトルの内分・外分を参照)，
，
として、
より、
となりますが、
が満たされています。
点Pが線分ABをm：nに外分する点であるとき、
(ベクトルの内分・外分を参照)，
，
として、
より、
となりますが、
が満たされています。
例．三角形ABCの辺ABを2：3に内分する点をF，辺ACを1：2に内分する点をE，線分BEと線分CFの交点をPとし、直線APと辺BCとの交点をDとする。
を
，
を用いて表し、BD：DCを求める。
[解答1] 
･･･①，
･･･② です。
B，P，Eは一直線上の点なので、共線条件より、
･･･③ (共線条件より、
と
の係数を足すと1になります。
は
を使って表されるベクトルなので、
の係数の方を簡単な形にするようにsとして、
の係数を
としています)
C，P，Fは一直線上の点なので、共線条件より、
･･･④
③に②を代入して、
･･･⑤
④に①を代入して、
･･･⑥
⑤，⑥の係数を比較して、
，
連立して解くと、
，
⑤より、
･･･⑦
･･･⑧
D，B，Cが一直線上にある条件は、
と
の係数の和が1となることで、
∴ 
⑧より、
これは、Dが線分BCを3：4に内分する点であることを示す。よって、BD：DC ＝ 3：4 ......[答]
[解答2] メネラウスの定理より、
∴ 
∴ FP：PC ＝ 3：10
∴ 
チェバの定理より、
∴ 
∴ BD：DC ＝ 3：4 ......[答]
注．あまりに典型問題なので意外と出題されませんが、大学入試では、解答2で答案を書きましょう。
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