センター数学IIB '09年第4問
Oを原点とする座標空間における5点をA
，B
，C
，D
，E
とする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) 
であり、三角形ABCの面積は
である。 (2) 
，
とおく。
とし、点
を線分BEをa：
に内分する点とすると、
である。点
を で定め、線分
と線分AEが交わることを示そう。
上の点Pは、
を満たすbを用いて と表される。また、AE上の点Qは、
を満たすcを用いて と表される。PとQは
のとき一致するから、線分
とAEは、AEを
：
に内分する点で交わることがわかる。この点を
とする。
点
を で定めると、同様に考えることにより、線分
と線分ADも、ADを
：
に内分する点で交わることがわかる。この点を
とすると であり、三角形
は三角形ABCと平行であるから、四角形
の面積は である。
また
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解答 第2問、第3問に続いてボリュームたっぷりの空間ベクトルの問題です。きちんと論証していたのではとても時間が足りません。(ア)(イ)(ウ)と(ツ)(テ)(ト)は少々計算が必要ですが、それ以外は、実力派の受験生ならカンで埋められる、というか、カンでやっていかないと高得点は望めません。
(1) 
，
(ア) 1 (イ) 3 (ウ) 2 ......[答]
(2) 
，
とおくので、三角形ABEを含む平面上のベクトルは、Bを始点とするように考えることにします。Oを始点とするベクトルは、
の形で考えます。点
は線分BEをa：
に内分するので、 (エ) a ......[答]
これを用いると、点Pは
上の点なので、 問題文の
の式の形から、AE上の点Qは、AEを
：cに内分する点として、 と書けるので、
･･･②(オ) c (カ) 1......[答]①，②は、
かつ
，つまり、
のときに一致します。(キ) c (ク) － (ケ) a ......[答]このときQは、AEをa：
に内分する点で、線分
とAEは、AEをa：
に内分する点
で交わることがわかります。(コ) a ......[答]
上記で、BをCに、
を
に、EをDに読み替えることにより、線分
とADは、ADをa：
に内分する点
で交わることがわかります。(サ) a ......[答]
，
より、 
･･･③(シ) a ......[答]
と同様に、
，
よって、三角形ABCと三角形
は合同です。また、
：DE = a：1で、三角形
と三角形
は相似な三角形であって、相似比はa：1で面積の比は
：1です。
三角形
の面積は三角形ABCの面積に等しく
で、四角形
の面積は、三角形
の面積から三角形
の面積を引いて、 (ス) 3 (セ) 2 (ソ) 1 (タ) a (チ) 2 ......[答]また、
：
= a：
より、 ∴ 
(ツ) 5 (テ) 2 (ト) 2 ......[答]
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