センター数学IIB '10年第4問
二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、
，
である。
，
，
とおく。
，
とする。辺ABをa：
の比に内分する点をX，辺BFをb：
の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をαとする。
(1) 
，
である。ベクトル
は、a，b，
，
を用いて
と表される。 
である。(2) 直線ECと平面αが垂直に交わるとし、交点をKとする。
が三角形XYZの2辺と垂直であることから、
が成り立つ。 以下では、
とする。このとき
である。
を実数cを用いて
と表すと、
である。一方、点Kは平面α上にあるから、
は実数s，tを用いて
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解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。
(1) 平行六面体の各辺の長さは1なので、
･･･① 
より、
，
･･･② (内積を参照)
より、
･･･③(ア) 0 (イ) 1 (ウ) 2 ......[答]
(エ) a (オ) b (カ) 0 ......[答]
(2) 
より、
は三角形XYZの2辺と垂直になりますが、(1)で
は確認されているので、
です。よって、④，⑤と
より、 
(∵ ①，②，③)∴ 
･･･⑥
⑥で
とすると、
(キ) 2 (ク) 2 (ケ) 3 (コ) 4 ......[答] 
･･･⑦と表すと、
･･･⑧④より、
，
，よって、 
･･･⑨∴ 
(サ) 4 (シ) 2 (ス) 5 (セ) 8 ......[答] 
(∵ ①，②，③)∴ 
∴ 
(ソ) 5 (タ) 2 (チ) 8 ......[答]
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である。よって、点Eと平面αとの距離
は
となる。
，
，
･･･④
･･･⑤
(∵ ①，②)
，
，
，
，
，
の係数を比較して