　大学入学共通テスト数学IIB 2021年問題　

　大学入学共通テスト数学IIB 2021年問題　

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[1][1](1) 次の問題Aについて考えよう

　関数

(

)の最大値を求めよ。

，

であるから、三角関数の合成により

と変形できる。よって、yは

で最大値

をとる。

(2) pを定数とし、次の問題Bについて考えよう。

　関数

(

)の最大値を求めよ。

(i)

のとき、yは

で最大値

をとる。

(ii)

のときは、加法定理

を用いると

と表すことができる。ただし、αは

，

を満たすものとする。このとき、yは

で最大値

をとる。

(iii)

のとき、yは

で最大値

をとる。

～

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

[2]　二つの関数

，

について考える。

(1)

，

である。また、

は相加平均と相乗平均の関係から、

で最小値

をとる。

となるxの値は

である。

(2) 次の①～④は、xにどのような値を代入してもつねに成り立つ。

　･･･①

　･･･②

　･･･③

　･･･④

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(3) 花子さんと太郎さんは、

と

の性質について話している。

花子：①～④は三角関数の性質に似ているね。

太郎：三角関数の加法定理に類似した式(A)～(D)を考えてみたけど、つねに成り立つ式はあるだろうか。

花子：成り立たない式を見つけるために、式(A)～(D)のβに何か具体的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式

　･･･(A)

　･･･(B)

　･･･(C)

　･･･(D)

(1)，(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(A)～(D)のうち、

以外の三つは成り立たないことがわかる。

は左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

の解答群

　(A)　　

　(B)　　

　(C)　　

　(D)

[解答へ]

[2](1) 座標平面上で、次の二つの2次関数のグラフについて考える。

　･･･①

　･･･②

①，②の2次関数のグラフには次の共通点がある。

共通点

・y軸との交点のy座標は

である。

・y軸との交点における接線の方程式は

である。

～

の2次関数のうち、y軸との交点における接線の方程式が

となるものは

である。

の解答群

a，b，cを0でない実数とする。
曲線

上の点

における接線を

とすると、その方程式は

である。
接線

とx軸との交点のx座標は

である。
a，b，cが正の実数であるとき、曲線

と接線

および直線

で囲まれた図形の面積をSとすると

　･･･③

である。
③において、

とし、Sの値が一定となるように正の実数b，cの値を変化させる。このとき、b，cの関係を表すグラフの概形は

である。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(2) 座標平面上で、次の三つの3次関数のグラフについて考える。

　･･･④

　･･･⑤

　･･･⑥

④，⑤，⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。

共通点

・y軸との交点のy座標は

である。
・y軸との交点における接線の方程式は

である。
a，b，c，dを0でない実数とする。
曲線

上の点

における接線の方程式は

である。
次に、

，

とし、

について考える。

とおく。a，b，c，dが正の実数であるとき、

のグラフの概形は

である。

のグラフと

のグラフの共有点のx座標は

と

である。また、xが

と

の間を動くとき、

の値が最大となるのは、

のときである。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

[解答へ]

[3]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて本問末尾の正規分布表を用いてもよい。

Q高校の校長先生は、ある日、新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ。そこで、Q高校の生徒全員を対象に、直前の1週間の読書時間に関して、100人の生徒を無作為に抽出して調査を行った。その結果、100人の生徒のうち、この1週間に全く読書をしなかった生徒が36人であり、100人の生徒のこの1週間の読書時間(分)の平均値は204であった。Q高校の生徒全員のこの1週間の読書時間の母平均をm，母標準偏差を150とする。

(1) 全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とする。このとき、100人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数をXとすると、Xは

に従う。また、Xの平均(期待値)は

、標準偏差は

である。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

　正規分布

　二項分布

　正規分布

　二項分布

　正規分布

　二項分布

(2) 標本の大きさ100は十分に大きいので、100人のうち全く読書をしなかった生徒の数は近似的に正規分布に従う。

全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率を

とおく。

の近似値を求めると、

である。
また、全く読書をしなかった生徒の母比率を0.4とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率を

とおくと、

である。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

　0.001　　　　

　0.003　　　　

　0.026

　0.050　　　　

　0.133　　　　

　0.497

の解答群

(3) 1週間の読書時間の母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を

とする。標本の大きさ100は十分大きいことと、1週間の読書時間の標本平均が204、母標準偏差が150であることを用いると、

，

であることがわかる。

また、母平均mと

，

については、

。

の解答群

が必ず成り立つ

は必ず成り立つが、

が成り立つとは限らない

は必ず成り立つが、

が成り立つとは限らない

も

も成り立つとは限らない

(4) Q高校の図書委員長も、校長先生と同じ新聞記事を読んだため、校長先生が調査していることを知らずに、図書委員会として校長先生と同様の調査を独自に行った。ただし、調査期間は校長先生による調査と同じ直前の1週間であり、対象をQ高校の生徒全員として100人の生徒を無作為に抽出した。その調査における、全く読書をしなかった生徒の数をnとする。

校長先生の調査結果によると全く読書をしなかった生徒は36人であり、

。

の解答群

　nは必ず36に等しい　　　

　nは必ず36未満である

　nは必ず36より大きい　　　

　nと36の大小はわからない

(5) (4)の図書委員会が行った調査結果による母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を

，校長先生が行った調査結果による母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を(3)の

とする。ただし、母集団は同一であり、1週間の読書時間の母標準偏差は150とする。

このとき、次の

～

のうち、正しいものは

と

である。

，

の解答群(解答の順序は問わない。)

と

が必ず成り立つ。

または

のどちらか一方のみが必ず成り立つ。

または

となる場合もある。

が必ず成り立つ。

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990