大学入学共通テスト数学IIB 2021年問題 

[1][1](1) 次の問題Aについて考えよう
 関数 ()の最大値を求めよ。
であるから、三角関数の合成により
と変形できる。よって、yで最大値をとる。
(2) pを定数とし、次の問題Bについて考えよう。
 関数 ()の最大値を求めよ。
(i) のとき、yで最大値をとる。
(ii) のときは、加法定理
を用いると
と表すことができる。ただし、α
を満たすものとする。このとき、yで最大値をとる。
(iii) のとき、yで最大値をとる。
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
    1   
 
p      
       
       
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 0   α   

[2] 二つの関数について考える。
(1) である。また、は相加平均と相乗平均の関係から、で最小値をとる。
となるxの値はである。
(2) 次の@〜Cは、xにどのような値を代入してもつねに成り立つ。
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
 ・・・C
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
          
(3) 花子さんと太郎さんは、の性質について話している。
花子:@〜Cは三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式(A)(D)を考えてみたけど、つねに成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式(A)(D)βに何か具体的な値を代入して調べてみたらどうかな。
太郎さんが考えた式
 ・・・(A)
 ・・・(B)
 ・・・(C)
 ・・・(D)
(1)(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(A)(D)のうち、以外の三つは成り立たないことがわかる。は左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。
の解答群
 (A)   (B)   (C)   (D)
[解答へ]


[2](1) 座標平面上で、次の二つの2次関数のグラフについて考える。
 ・・・@
 ・・・A
@,Aの2次関数のグラフには次の共通点がある。
共通点
y軸との交点のy座標はである。
y軸との交点における接線の方程式はである。
次の2次関数のうち、y軸との交点における接線の方程式がとなるものはである。
の解答群
    
    
    
abc0でない実数とする。
曲線上の点における接線をとすると、その方程式はである。
接線
x軸との交点のx座標はである。
abcが正の実数であるとき、曲線と接線および直線で囲まれた図形の面積をSとすると
 ・・・B
である。
Bにおいて、とし、
Sの値が一定となるように正の実数bcの値を変化させる。このとき、bcの関係を表すグラフの概形はである。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
(2) 座標平面上で、次の三つの3次関数のグラフについて考える。
 ・・・C
 ・・・D
 ・・・E
C,D,Eの3次関数のグラフには次の共通点がある。
共通点
y軸との交点のy座標はである。
y軸との交点における接線の方程式はである。
abcd0でない実数とする。
曲線上の点における接線の方程式はである。
次に、とし、について考える。
とおく。
abcdが正の実数であるとき、のグラフの概形はである。
のグラフとのグラフの共有点の
x座標はである。また、xの間を動くとき、の値が最大となるのは、のときである。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
[解答へ]


[3] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて本問末尾の正規分布表を用いてもよい。

Q高校の校長先生は、ある日、新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ。そこで、Q高校の生徒全員を対象に、直前の1週間の読書時間に関して、100人の生徒を無作為に抽出して調査を行った。その結果、100人の生徒のうち、この1週間に全く読書をしなかった生徒が36人であり、100人の生徒のこの1週間の読書時間()の平均値は204であった。Q高校の生徒全員のこの1週間の読書時間の母平均をm,母標準偏差を150とする。

(1) 全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とする。このとき、100人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数をXとすると、Xに従う。また、Xの平均(期待値)、標準偏差はである。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 正規分布    二項分布
 正規分布    二項分布
 正規分布    二項分布
(2) 標本の大きさ100は十分に大きいので、100人のうち全く読書をしなかった生徒の数は近似的に正規分布に従う。
全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率をとおく。の近似値を求めると、である。
また、全く読書をしなかった生徒の母比率を
0.4とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率をとおくと、である。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 0.001     0.003     0.026
 0.050     0.133     0.497
の解答群
         
(3) 1週間の読書時間の母平均mに対する信頼度95%の信頼区間をとする。標本の大きさ100は十分大きいことと、1週間の読書時間の標本平均が204、母標準偏差が150であることを用いると、.であることがわかる。
また、母平均mについては、
の解答群
 が必ず成り立つ
 は必ず成り立つが、が成り立つとは限らない
 は必ず成り立つが、が成り立つとは限らない
 も成り立つとは限らない
(4) Q高校の図書委員長も、校長先生と同じ新聞記事を読んだため、校長先生が調査していることを知らずに、図書委員会として校長先生と同様の調査を独自に行った。ただし、調査期間は校長先生による調査と同じ直前の1週間であり、対象をQ高校の生徒全員として100人の生徒を無作為に抽出した。その調査における、全く読書をしなかった生徒の数をnとする。
校長先生の調査結果によると全く読書をしなかった生徒は36人であり、
の解答群
 nは必ず36に等しい    nは必ず36未満である
 
nは必ず36より大きい    n36の大小はわからない
(5) (4)の図書委員会が行った調査結果による母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を,校長先生が行った調査結果による母平均mに対する信頼度95%の信頼区間を(3)とする。ただし、母集団は同一であり、1週間の読書時間の母標準偏差は150とする。
このとき、次ののうち、正しいものはである。
の解答群
(解答の順序は問わない。)
 が必ず成り立つ。
 またはのどちらか一方のみが必ず成り立つ。
 またはとなる場合もある。
 が必ず成り立つ。
 が必ず成り立つ。
 が必ず成り立つ。

正規分布表
次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359
0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753
0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141
0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517
0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879
0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224
0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.2549
0.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852
0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133
0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389
1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621
1.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830
1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015
1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177
1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319
1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441
1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545
1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633
1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706
1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767
2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817
2.10.48210.48260.48300.48340.48380.48420.48460.48500.48540.4857
2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890
2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916
2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936
2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952
2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964
2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974
2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981
2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986
3.00.49870.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990

[解答へ]


[4] 初項3,公差pの等差数列をとし、初項3,公比rの等比数列をとする。ただし、かつとする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
 () ・・・@
(1) prの値を求めよう。自然数nについて、はそれぞれ
 ・・・A
 ・・・B

と表される。により、すべての自然数nについて、となる。であることから、@の両辺をで割ることにより
 ・・・C
が成り立つことがわかる。CにAとBを代入すると
 ・・・D
となる。Dがすべてのnで成り立つことおよびにより、を得る。さらに、このことから、を得る。
以上から、すべての自然数
nについて、が正であることもわかる。
(2) であることから、の初項から第n項までの和は、それぞれ次の式で与えられる。

(3) 数列に対して、初項3の数列が次の満たすとする。
 () ・・・E
が正であることから、Eを変形して、を得る。
さらに、であることから、数列ことがわかる。
の解答群
 すべての項が同じ値をとる数列である
 公差が0でない等差数列である
 公比が1より大きい等比数列である
 公比が1より小さい等比数列である
 等差数列でも等比数列でもない
(4) quは定数で、とする。数列に対して、初項3の数列が次を満たすとする。
 () ・・・F
であることから、Fを変形して、を得る。したがって、数列が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、かつである。
[解答へ]


[5] 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1) 1辺の長さが1の正五角形を考える。
となることから、は平行である。ゆえに
であるから
また、は平行で、さらに、も平行であることから

となる。したがって
が成り立つ。に注意してこれを解くと、を得る。
(2) 下の図のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである。
に着目する。が平行であることから
である。また
に注意すると
を得る。
次に、面に着目すると
である。さらに
が成り立つことがわかる。ゆえに
である。
の解答群
(同じものを繰り返しえらんでもよい。)
 0   1  >>@2>>    
          
    
最後に、面に着目する。
であることに注意すると、4ODは同一平面上にあり、四角形ことがわかる。
の解答群
 正方形である
 正方形ではないが、長方形である
 正方形ではないが、ひし形である
 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
 平行四辺形ではないが、台形である
 台形ではない
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
[解答へ]



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