共通テスト数学IIB '22年第5問
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A，B，Cがあり、
および
を満たすとする。t を
を満たす実数とし、線分ABをt ：
に内分する点をPとする。また、直線OP上に点Qをとる。
(1) 
である。 また、実数kを用いて、
と表せる。したがって、 
･･･①
となる。
と
が垂直となるのは、
のときである。
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
以下、
とし、
が直角であるとする。
(2) 
が直角であることにより、(1)のkは 
･･･②となることがわかる。
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Bを含む部分を
，含まない部分を
とする。また、平面から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Aを含む部分を
，含まない部分を
とする。 ・
ならば、点Qは
。 ・
ならば、点Qは
。 
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 
に含まれ、かつ
に含まれる。
に含まれ、かつ
に含まれる。
に含まれ、かつ
に含まれる。
に含まれ、かつ
に含まれる。
(3) 太郎さんと花子さんは、点Pの位置と
の関係について考えている。 
のとき、①と②により、
とわかる。
太郎：
のときにも、
となる場合があるかな。 花子：
をt を用いて表して、
を満たすt の値について考えればいいと思うよ。 太郎：計算が大変そうだね。
花子：直線OAに関して、
のときの点Qと対称な点をRとしたら、
となるよ。 太郎：
を
と
を用いて表すことができれば、t の値が求められそうだね。 直線OAに関して、
のときの点Qと対称な点をRとすると
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解答 平面ベクトルとしては、広範囲にテストしようということで、2次試験と比べると頻出とは言えない内容になっています。[タ]以降は、出題の意図を正しく理解して解かないと混乱します。
A，Bは点Oを中心とする半径1の円周上の点なので、
･･･③
･･･④
･･･⑤ より、ACは円の直径です。
(
) ･･･⑥
(1) 
(内積を参照) アイ －2 ウ 3 ......[答]
(k：実数)③より、
エ 1 オ 0 ......[答]
①，⑤より、
･･･⑦カ 4 キ 0 ......[答]
と
が垂直なので、③，④，⑥より、 ク 3 ケ 5 ......[答]
で、
が直角であることにより
、⑦で、①，④を用いて、 ∴ 
･･･② コ 3 サ 5 シ 3 ......[答]
のときのP，つまり⑥より、
となるときのPを
とします。Pは、
であれば、線分AB上の点であり、
，
に含まれます。 ・
ならば、②より、
です。このときQは、直線OP上でOに関してPと反対側にあり、直線OAに関してBと反対側、直線OBに関してAと反対側の点で、
に含まれ、かつ
に含まれる点です。 ・
ならば、②より、
です。このときQは、直線OP上でOに関してPと同じ側にあり、直線OAに関してBと同じ側、直線OBに関してAと同じ側の点で、
に含まれ、かつ
に含まれる点です。 ③，④より、
∴ 
ソ 6 ......[答]直線OAに関して、
のときの点Qと対称な点をRとすると、
は直角なので、QとRの中点はCです。よって、⑤，⑧より、 タ － チ 2 ツ 3 .......[答]
⑤より、
このとき、
となる直線AB上の点をPとして、⑥より、 よって、
，
テ 3 ト 4 ......[答]
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のとき、
となるt の値は
である。
∴ 
∴ 
(3) 
のとき、②より、
，⑥より、
･･･⑧
，
