共通テスト数学IIB '22年第5問 

平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3ABCがあり、およびを満たすとする。t を満たす実数とし、線分ABt に内分する点をPとする。また、直線OP上に点Qをとる。

(1) である。
また、実数kを用いて、と表せる。したがって、
 ・・・@
となる。
が垂直となるのは、のときである。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       


以下、とし、が直角であるとする。
(2) が直角であることにより、(1)k
 ・・・A
となることがわかる。

平面から直線
OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Bを含む部分を,含まない部分をとする。また、平面から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Aを含む部分を,含まない部分をとする。
ならば、点Q
ならば、点Q

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。


(3) 太郎さんと花子さんは、点Pの位置との関係について考えている。
のとき、@とAにより、とわかる。

太郎:のときにも、となる場合があるかな。
花子:t を用いて表して、を満たすt の値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、のときの点Qと対称な点をRとしたら、となるよ。
太郎:を用いて表すことができれば、t の値が求められそうだね。

直線OAに関して、のときの点Qと対称な点をRとすると
となる。
のとき、となる
t の値はである。


解答 平面ベクトルとしては、広範囲にテストしようということで、2次試験と比べると頻出とは言えない内容になっています。タ以降は、出題の意図を正しく理解して解かないと混乱します。

ABは点Oを中心とする半径1の円周上の点なので、 ・・・B
 ・・・C
 ・・・D より、
ACは円の直径です。
() ・・・E

(1)
アイ −2 ウ 3 ......[]
(k:実数)
Bより、
 ・・・@
エ 1 オ 0 ......[]
@,Dより、
 ・・・F
カ 4 キ 0 ......[]
が垂直なので、B,C,Eより、
 ∴
ク 3 ケ 5 ......[]
で、が直角であることにより、Fで、@,Cを用いて、
 
 ・・・A
コ 3 サ 5 シ 3 ......[]
のときのP,つまりEより、となるときのPとします。
ならば、Pは線分上の点です。またAより、です。このときQは、直線OAに関してBと反対側、直線OBに関してAと反対側の点で、に含まれ、かつに含まれる点です。
ならば、Pは線分上の点です。またAより、です。このときQは、直線Aに関してBと同じ側、直線OBに関してAと同じ側の点で、に含まれ、かつに含まれる点です。
ス 3 セ 0 ......[]
(3) のとき、Aより、,Eより、 ・・・G
B,Cより、
 ∴
ソ 6 ......[]
直線OAに関して、のときの点Qと対称な点をRとすると、は直角なので、QRの中点はCです。よって、D,Gより、
タ − チ 2 ツ 3 .......[]
Dより、
このとき、となる直線AB上の点をPとして、Eより、

よって、
テ 
3 ト 4 ......[]



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