は
とし、この角度をθとおく。ただし、
とする。は
･･･①
の解答群
とし、さらに
，
，
を満たしているとする。このとき、
である。
と
が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、
と
は垂直である。
と
が垂直であるとき、
を
，
，
を用いて表して考えると、
が成り立つ。さらに①に注意すると、
から
が成り立つことがわかる。
と
が垂直であれば、
が成り立つ。逆に
が成り立てば、
と
は垂直である。
の解答群 
の解答群 
が成り立つ。
とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とする。
と
が垂直であることは、
であることと同値である。特に
のとき、
と
が垂直であることは、
であることと同値である。
の解答群 
の解答群 
と
がともに線分APの中点 
と
が線分APをそれぞれ
：1と1：
に内分する点 
と
が線分APをそれぞれ1：
と
：1に内分する点 
と
が線分APをそれぞれk：1と1：kに内分する点 
と
が線分APをそれぞれ1：kとk：1に内分する点 
と
がともに線分APをk：1に内分する点 
と
がともに線分APを1：kに内分する点
の解答群 △PABと△PACがともに正三角形 △PABと△PACがそれぞれ
，
を満たす直角二等辺三角形 △PABと△PACがそれぞれ
，
を満たす二等辺三角形 △PABと△PACが合同 
，
が(3)にも及んでいると錯覚すると行き詰まります。深く考え込まずに流れに乗って進める方が良さそうです。最後のシだけ不可解なので、消去法で解答しましょう。必要性だけ考えると解答が2つあるように見えますが、逆も確かめる必要があります。
ア 1 イ 2 ウ 1 エ 2 ......[答]
，および、内積の定義より、
･･･① オ 1 ......[答]
カ 9 ......[答]
とおくと、カ，(1)の結果を用いて、
より、
∴ 
，
キ 2 ......[答]
として考えます。点Qを、
，
であるとき、
より、
ク 0 ......[答]
より、
，
より、
ケ 3 ......[答]
⇔ 
･･･② (逆の成立は問題文に書かれています)
より、
，よって、
コ 0 ......[答]
とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とすると、
，
∴ 
，
･･･③
はAPを1：kに内分する点です。
，
･･･④
はAPをk：1に内分する点です。 サ 4 ......[答]が成り立つとき、③，④が成立するので、
⇔ サの
のとき、
また
(
と
が同一の点)となりますが、一見すると、適する選択肢がないように見えます。そこで、消去法で考えます。は除外します。
，
」とは言えないので、も除外します。
」とも言えないので、も除外されます。
，
であり、△PABと△PACはともに二等辺三角形です。逆に、
，
であれば、
つまり
のとき、は
と同値です。のとき、△PAB ≡ △PACですが、△PAB ≡ △PACであっても、
，
とは言えないので②が言えず、は
と同値ではありません。 シ 2 ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2023 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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