共通テスト数学IIB '23年第5問 

三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、とし、この角度をθとおく。ただし、とする。

(1)
と表せる。また、
 ・・・@
である。

の解答群
       
       
       

(2) とし、さらに
が成り立つ場合を考える。このとき
である。さらに、直線AM上の点Dを満たしているとする。このとき、である。

(3)
で定まる点をQとおく。が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、は垂直である。

(i) が垂直であるとき、を用いて表して考えると、が成り立つ。さらに@に注意すると、からが成り立つことがわかる。
したがって、が垂直であれば、が成り立つ。逆にが成り立てば、は垂直である。

の解答群






の解答群
 
 
 
 
 
 

(ii) kを正の定数とし
が成り立つとする。このとき、が成り立つ。
また、点
Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとする。
このとき、が垂直であることは、であることと同値である。特にのとき、が垂直であることは、であることと同値である。

の解答群
    
    

の解答群
 がともに線分APの中点
 が線分APをそれぞれ11に内分する点
 が線分APをそれぞれ11に内分する点
 が線分APをそれぞれk11kに内分する点
 が線分APをそれぞれ1kk1に内分する点
 がともに線分APk1に内分する点
 がともに線分AP1kに内分する点

の解答群
 △PABと△PACがともに正三角形
 △PABと△PACがそれぞれを満たす直角二等辺三角形
 △PABと△PACがそれぞれを満たす二等辺三角形
 △PABと△PACが合同
 


解答 (2)に書かれている(3)にも及んでいると錯覚すると行き詰まります。深く考え込まずに流れに乗って進める方が良さそうです。最後のシだけ不可解なので、消去法で解答しましょう。必要性だけ考えると解答が2つあるように見えますが、逆も確かめる必要があります。

(1) Mは辺BCの中点なので、 ア 1 イ 2 ウ 1 エ 2 ......[]
,および、内積の定義より、
 ・・・@ オ 1 ......[]

(2) @より、 カ 9 ......[]
とおくと、カ,(1)の結果を用いて、より、


 ∴  キ 2 ......[]

(3) ここでは、△ABPも△ACPも直角二等辺三角形ではない、またとして考えます。点Qを、
で定めると、Mが辺BCの中点であることから、
(i) であるとき、より、

 ク 0 ......[]
より、より、

 ケ 3 ......[]
以上より、  ・・・A (逆の成立は問題文に書かれています)

(ii) より、,よって、 コ 0 ......[]
Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとすると、
Aに代入すると、
 ∴  ・・・B
これより、AP1kに内分する点です。
また、 ・・・C
これより、
APk1に内分する点です。 サ 4 ......[]
逆にサのが成り立つとき、B,Cが成立するので、
となりAが成立するので、 サの
のとき、また
(が同一の点)となりますが、一見すると、適する選択肢がないように見えます。そこで、消去法で考えます。
まず、△
PABと△PACが正三角形とは言えないので、は除外します。
「上記から」とは言えないので、も除外します。
また、「上記から」とも言えないので、も除外されます。

BCから直線APに下ろした垂線の足が一致して、APの中点になるので、であり、△PABと△PACはともに二等辺三角形です。逆に、であれば、
よりAが成立するので、つまりのとき、と同値です。
のとき、△
PAB PACですが、△PAB PACであっても、とは言えないのでAが言えず、と同値ではありません。 シ 2 ......[]



   センター数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元