共通テスト数学
IIB '23
年第
5
問
三角錐
PABC
において、辺
BC
の中点を
M
とおく。また、
とし、この角度を
θ
とおく。ただし、
とする。
(1)
は
と表せる。また、
・・・@
である。
の解答群
(2)
とし、さらに
,
,
が成り立つ場合を考える。このとき
である。さらに、直線
AM
上の点
D
が
を満たしているとする。このとき、
である。
(3)
で定まる点を
Q
とおく。
と
が垂直である三角錐
PABC
はどのようなものかについて考えよう。例えば
(2)
の場合では、点
Q
は点
D
と一致し、
と
は垂直である。
(i)
と
が垂直であるとき、
を
,
,
を用いて表して考えると、
が成り立つ。さらに@に注意すると、
から
が成り立つことがわかる。
したがって、
と
が垂直であれば、
が成り立つ。逆に
が成り立てば、
と
は垂直である。
の解答群
の解答群
(ii)
k
を正の定数とし
が成り立つとする。このとき、
が成り立つ。
また、点
B
から直線
AP
に下ろした垂線と直線
AP
との交点を
とし、同様に点
C
から直線
AP
に下ろした垂線と直線
AP
との交点を
とする。
このとき、
と
が垂直であることは、
であることと同値である。特に
のとき、
と
が垂直であることは、
であることと同値である。
の解答群
の解答群
と
がともに線分
AP
の中点
と
が線分
AP
をそれぞれ
:
1
と
1
:
に内分する点
と
が線分
AP
をそれぞれ
1
:
と
:
1
に内分する点
と
が線分
AP
をそれぞれ
k
:
1
と
1
:
k
に内分する点
と
が線分
AP
をそれぞれ
1
:
k
と
k
:
1
に内分する点
と
がともに線分
AP
を
k
:
1
に内分する点
と
がともに線分
AP
を
1
:
k
に内分する点
の解答群
△
PAB
と△
PAC
がともに正三角形
△
PAB
と△
PAC
がそれぞれ
,
を満たす直角二等辺三角形
△
PAB
と△
PAC
がそれぞれ
,
を満たす二等辺三角形
△
PAB
と△
PAC
が合同
解答
(2)
に書かれている
,
が
(3)
にも及んでいると錯覚すると行き詰まります。深く考え込まずに流れに乗って進める方が良さそうです。最後のシだけ不可解なので、消去法で解答しましょう。必要性だけ考えると解答が
2
つあるように見えますが、逆も確かめる必要があります。
(1) M
は辺
BC
の中点なので、
ア
1
イ
2
ウ
1
エ
2 ......[
答
]
,および、内積の定義より、
・・・@ オ
1 ......[
答
]
(2)
@より、
カ
9 ......[
答
]
とおくと、カ,
(1)
の結果を用いて、
より、
∴
,
キ
2 ......[
答
]
(3)
ここでは、△
ABP
も△
ACP
も直角二等辺三角形ではない、また
として考えます。点
Q
を、
で定めると、
M
が辺
BC
の中点であることから、
(i)
,
であるとき、
より、
∴
ク
0 ......[
答
]
より、
,
より、
∴
ケ
3 ......[
答
]
以上より、
⇔
・・・A
(
逆の成立は問題文に書かれています
)
(ii)
より、
,よって、
コ
0 ......[
答
]
点
B
から直線
AP
に下ろした垂線と直線
AP
との交点を
とし、同様に点
C
から直線
AP
に下ろした垂線と直線
AP
との交点を
とすると、
,
Aに代入すると、
∴
,
・・・B
これより、
は
AP
を
1
:
k
に内分する点です。
また、
,
・・・C
これより、
は
AP
を
k
:
1
に内分する点です。 サ
4 ......[
答
]
逆にサの
が成り立つとき、B,Cが成立するので、
となりAが成立するので、
⇔
サの
のとき、
また
(
と
が同一の点
)
となりますが、一見すると、適する選択肢がないように見えます。そこで、消去法で考えます。
まず、△
PAB
と△
PAC
が正三角形とは言えないので、
は除外します。
「上記から
,
」とは言えないので、
も除外します。
また、「上記から
」とも言えないので、
も除外されます。
B
,
C
から直線
AP
に下ろした垂線の足が一致して、
AP
の中点になるので、
,
であり、△
PAB
と△
PAC
はともに二等辺三角形です。逆に、
,
であれば、
よりAが成立するので、
つまり
のとき、
は
と同値です。
のとき、△
PAB
≡
△
PAC
ですが、△
PAB
≡
△
PAC
であっても、
,
とは言えないのでAが言えず、
は
と同値ではありません。 シ
2 ......[
答
]
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