共通テスト数学IIB '23年第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、
とし、この角度をθとおく。ただし、
とする。
(1) 
は と表せる。また、
･･･①である。
の解答群
(2) 
とし、さらに が成り立つ場合を考える。このとき
である。さらに、直線AM上の点Dが
を満たしているとする。このとき、
である。
(3) 
で定まる点をQとおく。
と
が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、
と
は垂直である。
(i) 
と
が垂直であるとき、
を
，
，
を用いて表して考えると、
が成り立つ。さらに①に注意すると、
から
が成り立つことがわかる。 したがって、
と
が垂直であれば、
が成り立つ。逆に
が成り立てば、
と
は垂直である。
の解答群 
の解答群
(ii) kを正の定数とし
が成り立つとする。このとき、
が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とする。
このとき、
と
が垂直であることは、
であることと同値である。特に
のとき、
と
が垂直であることは、
であることと同値である。
の解答群 
の解答群
の解答群
△PABと△PACがともに正三角形
△PABと△PACがそれぞれ
，
を満たす直角二等辺三角形
△PABと△PACがそれぞれ
，
を満たす二等辺三角形
△PABと△PACが合同
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解答 (2)に書かれている
，
が(3)にも及んでいると錯覚すると行き詰まります。深く考え込まずに流れに乗って進める方が良さそうです。最後のシだけ不可解なので、消去法で解答しましょう。必要性だけ考えると解答が2つあるように見えますが、逆も確かめる必要があります。
(1) Mは辺BCの中点なので、
(ベクトルの内分・外分を参照) ア 1 イ 2 ウ 1 エ 2 ......[答] 
，および、内積の定義より、
･･･① オ 1 ......[答]
(2) ①より、
カ 9 ......[答] 
とおくと、カ，(1)の結果を用いて、
より、
(3) ここでは、△ABPも△ACPも直角二等辺三角形ではない、また
として考えます。点Qを、 で定めると、Mが辺BCの中点であることから、
∴ 
ケ 3 ......[答]以上より、
⇔ 
･･･② (逆の成立は問題文に書かれています)
(ii) 
より、
，よって、
コ 0 ......[答] 
点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点を
とすると(右図参照)、
，
②に代入すると、
これより、
はAPを1：kに内分する点(ベクトルの内分・外分を参照)です。
また、
，
･･･④
これより、
はAPをk：1に内分する点です。 サ 4 ......[答]逆にサの
が成り立つとき、③，④が成立するので、 となり②が成立するので、
⇔ サの
のとき、
また
(
と
が同一の点)となります(右図参照)が、一見すると、適する選択肢がないように見えます。そこで、消去法で考えます。
まず、△PABと△PACが正三角形とは言えないので、は除外します。
「上記から
，
」とは言えないので、も除外します。
また、「上記から
」とも言えないので、も除外されます。B，Cから直線APに下ろした垂線の足が一致してAPの中点になるので、
(BはAPの垂直二等分線上の点)，
(CはAPの垂直二等分線上の点)であり、△PABと△PACはともに二等辺三角形です。逆に、
，
であれば、 より②が成立するので、
つまり
のとき、は
と同値です。
のとき、△PAB ≡ △PACですが、△PAB ≡ △PACであっても、△PABと△PACが二等辺三角形とは限らず、
，
とは言えないので②が言えず、は
と同値ではありません(条件・命題を参照)。 シ 2 ......[答]
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，
，
と
がともに線分APの中点
と
が線分APをそれぞれ
：1と1：
に内分する点
と
が線分APをそれぞれ1：
と
：1に内分する点
と
が線分APをそれぞれk：1と1：kに内分する点
と
が線分APをそれぞれ1：kとk：1に内分する点
と
がともに線分APをk：1に内分する点
と
がともに線分APを1：kに内分する点
∴ 
，
キ 2 ......[答]
，
であるとき、
より、
より、
，
より、
∴ 
，
･･･③
