とおく。また、とし、この角度を

とおく。ただし、とする。

(1) は

　･･･�@

である。

の解答群

　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

(2) とし、さらに

，，

である。さらに、直線AM上の点Dがを満たしているとする。このとき、である。

で定まる点をQとおく。とが垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、とは垂直である。

(i) とが垂直であるとき、を，，を用いて表して考えると、が成り立つ。さらに�@に注意すると、からが成り立つことがわかる。

したがって、とが垂直であれば、が成り立つ。逆にが成り立てば、とは垂直である。

の解答群

の解答群

　
　
　
　
　
　

が成り立つとする。このとき、が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとする。
このとき、とが垂直であることは、であることと同値である。特にのとき、とが垂直であることは、であることと同値である。

の解答群

　　　　
　　　　

の解答群

　とがともに線分APの中点

　とが線分APをそれぞれ：1と1：に内分する点

　とが線分APをそれぞれ1：と：1に内分する点

　とが線分APをそれぞれk：1と1：kに内分する点

　とが線分APをそれぞれ1：kとk：1に内分する点

　とがともに線分APをk：1に内分する点

　とがともに線分APを1：kに内分する点

の解答群

　△PABと△PACがともに正三角形

　△PABと△PACがそれぞれ，を満たす直角二等辺三角形

　△PABと△PACがそれぞれ，を満たす二等辺三角形

　△PABと△PACが合同

　

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に書かれている，が

(1) Mは辺BCの中点なので、　ア 1　イ 2　ウ 1　エ 2 ......[答]

，および、内積の定義より、

　･･･�@　オ 1 ......[答]

(2) �@より、　カ 9 ......[答]

とおくと、カ，(1)の結果を用いて、より、

　∴ ，　キ 2 ......[答]

(3) ここでは、△ABPも△ACPも直角二等辺三角形ではない、またとして考えます。点Qを、

で定めると、Mが辺BCの中点であることから、

(i) ，であるとき、より、

∴ 　ク 0 ......[答]

より、，より、

∴ 　ケ 3 ......[答]

以上より、 ⇔ 　･･･�A　(逆の成立は問題文に書かれています)

(ii) より、，よって、　コ 0 ......[答]

点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をとすると、

，

　∴ ，　･･･�B

これより、はAPを1：kに内分する点です。
また、，　･･･�C
これより、はAPをk：1に内分する点です。　サ 4 ......[答]
逆にサのが成り立つとき、�B，�Cが成立するので、

となり�Aが成立するので、 ⇔ サの
のとき、また(とが同一の点)となりますが、一見すると、適する選択肢がないように見えます。そこで、消去法で考えます。
まず、△PABと△PACが正三角形とは言えないので、は除外します。
「上記から，」とは言えないので、も除外します。
また、「上記から」とも言えないので、も除外されます。
B，Cから直線APに下ろした垂線の足が一致して、APの中点になるので、，であり、△PABと△PACはともに二等辺三角形です。逆に、，であれば、

より�Aが成立するので、つまりのとき、はと同値です。
のとき、△PAB ≡ △PACですが、△PAB ≡ △PACであっても、，とは言えないので�Aが言えず、はと同値ではありません。　シ 2 ......[答]

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