共通テスト数学IIBC '25年第6問
Oを原点とする座標空間において、Oを中心とする半径1の球面をSとする。S上に二つの点
，
をとる。ただし、aは
を満たす実数とする。S上の点Cを、△ABCが正三角形となるようにとれるかどうかを考えてみよう。
(1) 点Cの座標を
とする。CがS上にあるとき である。これをベクトル
の成分を用いて表すと 
･･･①となる。
さらに、△ABCが正三角形であるとする。△OACと△OABは、対応する三組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同である。したがって、対応する角の大きさも等しいから
が成り立つ。これをベクトルの成分を用いて表すと
･･･②となる。同様に△OBCと△OABも合同であるから
が成り立ち、これをベクトルの成分を用いて表すと
･･･③となる。
逆に、実数x，y，zが①，②，③を満たすとき、
はS上の点であり、△ABCは正三角形になっていることがわかる。
の解答群
> 0 
1 
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) a 
(2) aに具体的な値を代入して、△ABCが正三角形となるS上の点Cがあるかどうかを調べよう。
(i) 
のとき、②と③を満たす実数x，yは 
，
である。このx，yに対して、①を満たす実数zは
。したがって、△ABCが正三角形となるS上の点Cは
。 (ii) 
のときも調べよう。(i)と同様に考えると、△ABCが正三角形となるS上の点Cは
ことがわかる。 
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) ない ちょうど一つある ちょうど二つある ちょうど三つある ちょうど四つある 無限に多くある
(3) △ABCが正三角形となるS上の点Cがあるための、aに関する条件を見つけよう。
実数x，y，zは、①，②，③を満たすとする。②と③から
，
である。このとき、①から
となる。さらに、
，
であるから
である。
逆に
のとき、①，②，③を満たす実数x，y，zがあることがわかる。
以上のことから、
は、△ABCが正三角形となるS上の点Cがあるための必要十分条件である。
の解答群
の解答群
または 
または 
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解答 空間ベクトルの問題ですが、球面上の3点で正三角形を作ることが可能な条件を求めるようになっていて、空間ベクトルとして考える要素の薄い問題です。
として、原点Oを中心とする半径1の球面S上の3点
，
，
を、△ABCが正三角形となるようにとれるかを考えます。
(1) Cは球面S上の点なので、
は半径1です。
ア 1 ......[答] よって、
･･･①
△OAC≡△OABより、
，よって、
イ 4 ......[答]ベクトルの成分を用いて表すと、 
･･･② ∴ 
ウ 0 ......[答]同様に、△OBC≡△OABより、
，よって、
ベクトルの成分を用いて表すと、 
･･･③ ∴ 
エ 0 オ 5 ......[答]
∴ 
カ 3 キ 5 ク 3 ケコ 10 ......[答]①より
，
∴ 
①を満たすzは、ちょうど二つあります。 サ 2 ......[答] 
∴ 
①より
，
これを満たすzは存在しません。△ABCが正三角形となるS上の点Cは存在しません。 シ 0 ......[答] (3) ②と③から、
，
両辺を2乗して、
∴ 
①より、 
，
より、
よって、
これで、セ 4 ......[答]とマークできますが、逆に
のとき、仮に
なら①より
になり得ないのですが、
はともかく、y，zは、
，
を満たすのか、ということを調べてみたくなるかも知れません。
とおくと、
より，
，
，
より増減表は、増減表と
(
)より、
において
です。(1)の問題文にある通り、「△ABCが正三角形となる
を球面上にとることができる ⇔ ①かつ②かつ③」です。
試験会場で、逆の確かめにこだわらないようにしてください。
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のとき②より
，③より
，
のとき②より
，③より
(
のとき
です)
とすると、
においては、
において
です。
とおくと、