　共通テスト数学IIBC '26年第5問　

　共通テスト数学IIBC '26年第5問　

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて問題末の正規分布表を用いてもよい。

ある自治体では、地域の知識を問う資格試験(以下、資格試験)を毎年実施しており、200点満点のうち120点以上である受験生を合格としている。

(1) 今年実施した資格試験(以下、今年の資格試験)における受験者全体の得点の平均点は116点、標準偏差が25点であることが公表された。今年の資格試験の受験者の得点は正規分布に従うとし、得点を表す確率変数をXとする。このとき、Xは正規分布

に従うから、

とおくと、Yは標準正規分布

に従う。

したがって、今年の受験者全体のうち、120点以上である受験者の割合

はおよそ

である。

の解答群

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

　0.16　　

　0.21　　

　0.29　　

　0.34

　0.41　　

　0.44　　

　0.50　　

　0.84

(2) この自治体のA地域では、多くの住民がこの資格試験を受験し、過去10年間における合格率が毎年40%(0.4)を超えていた。太郎さんたちは、今年の資格試験の合格率についても0.4より高いと判断してよいかを調べるために、A地域における住民の受験者の中からn人を無作為に選び、その合否を調査することにした。

(i) A地域における住民の今年の資格試験(以下、A地域における今年の資格試験)の受験者全体を母集団とし、母集団の大きさは十分に大きいとする。そして、A地域における今年の資格試験の合格率をpとする。無作為に選ぶn人のうちi番目の受験者が合格している場合は1，合格していない場合は0の値をとる確率変数を

(

)と定義する。このとき、

の確率分布は表1のとおりである。

　　　表　1

	0 　 1	計
確　率	p	1

表1から、

の平均(期待値)

は

となる。
また、

の分散

について

から、

は

となる。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(ii) (i)の

，

，･･･，

を、表1の確率分布をもつ母集団から抽出した大きさnの無作為標本とみなす。このとき、標本平均を

とおくと、nが十分大きいとき、

は近似的に正規分布

に従う。

この

の確率分布を利用して、pが0.4より高いといえるかを、有意水準5%(0.05)で仮説検定を行い検証したい。ここで、統計的に検証したい仮説を「対立仮説」、対立仮説に反する仮定として設けた仮説を「帰無仮説」とする。このとき、帰無仮説は「

」，対立仮説は「

」である。これらの仮説に対して、有意水準5%で帰無仮説が棄却(否定)されるかどうかを判断する。
無作為に選ばれた400人のうち、184人が合格者であった。いま、帰無仮説が正しいと仮定する。標本の大きさ

は十分に大きいので、標本平均

は近似的に平均が0.4，標準偏差が

の正規分布に従う。

として用いると

の値は

となる。よって、この値をパーセント表示した値は有意水準5%より

。したがって、有意水準5%でA地域における今年の資格試験の合格率は0.4より

。

の解答群

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

　0.0046　　

　0.0062　　

　0.0071　　

　0.0987

　0.1112　　

　0.3888　　

　0.4013　　

　0.4929

の解答群

　小さいから、帰無仮説は棄却されない

　小さいから、帰無仮説は棄却される

　大きいから、帰無仮説は棄却されない

　大きいから、帰無仮説は棄却される

の解答群

　高いと判断できる　　

　高いとは判断できない

(3) 太郎さんと花子さんは、(2)の仮説検定の結果について話している。

太郎：無作為に選ばれた100人のうち46人が合格者でも、比率は同じ0.46になるから、仮説検定の結果は同じになるのかな。

花子：試しに計算して調べてみようよ。

A地域における今年の資格試験の受験者の中から無作為に選ばれた100人のうち、46人が合格者である場合について考える。
(2)の(ii)と同じ帰無仮説と対立仮説に対し、有意水準5%で帰無仮説が棄却されるかどうかを調べる。標本の大きさ

は十分に大きいから、(2)の(ii)と同様に、

は近似的に正規分布

に従う。帰無仮説が正しいと仮定する。このとき、

として用いると

の値をパーセント表示した値は有意水準5%より

。
したがって、有意水準5%で帰無仮説は

。

の解答群

　小さい　　

　大きい

の解答群

　棄却される　　

　棄却されない

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990
3.1	0.4990	0.4991	0.4991	0.4991	0.4992	0.4992	0.4992	0.4992	0.4993	0.4993
3.2	0.4993	0.4993	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4995	0.4995	0.4995
3.3	0.4995	0.4995	0.4995	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4997
3.4	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4998
3.5	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998