共通テスト数学IIBC '26年第7問
zを0でない複素数とし、
とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。
(1) 
のとき、
であり である。
(2) zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いて
と表す。
(i) 
をr，θを用いて表すと 
･･･①である。したがって、θの値によらず
となるようなrの値は
である。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(ii) 
とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は
である。 
については、最も適当なものを、右の
～
のうちから一つ選べ。
(iii) 
とする。x，yを実数として
とおくと、①から 
，
･･･②が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは
を満たし、zがC上を動くとき、
は
の表す図形を描く。
の解答群
(3) 
とする。zがC上を動くとき、
が描く図形を考えよう。 (i) 
をzを用いて表すと、
である。 
の解答群
(ii) zがC上を動くとき、
が描く図形の方程式を考える。このとき、
は原点Oを中心とする半径
の円を描く。このことから、X，Yを実数として
とおくと、X，Yは
を満たす。以上を踏まえると、
の描く図形は
であることがわかる。 
の解答群
については、最も適当なものを、右の～
のうちから一つ選べ。
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解答 複素数平面上で円上の点を表す複素数zとその逆数
の和
，和の2乗
がどんな図形を描くか、を考える問題です。
(1) 
のとき、
ア 2 ......[答]
イ 5 ウ 3 エ 4 オ 3 カ 4 ......[答]
(2)(i) 原点Oを中心とする半径r(
)の円C上の点zは、
を満たします(複素数平面を参照)。zは極形式で、
･･･③キ 6 ク 9 ......[答]θの値によらず、
となるようなrの値は、
，
より、
ケ 1 ......[答] (ii) 
のとき、③は、
，wは実数で
より、
です。wが描く図形は、実軸の
の部分です。 コ 1 ......[答]
(iii) 
のとき、
とおくと、③より、 
，
･･･②
を用いてθを消去すると、サ 2 ......[答]
(3) 
で、zが円C上を動くとき、 (i) 
･･･④ シ 3 ......[答]
(ii) ④の右辺の中で、
とおくと、 注．ここで、ド・モアブルの定理：
(複号同順)を使う手もあります。 ス 2 ......[答]
の描く図形は、
より、長軸
，短軸
の楕円です。この長軸は、
(等号成立は
のとき、不等式の証明を参照)，
より、
･･･⑤
の描く図形は、
の描く図形を実軸正方向に2だけ平行移動させた図形で、楕円の中心は実軸上の2に来ます。このとき、⑤より、長軸の左側の端点は、y軸(
)よりも左側に来ます。つまり、楕円はy軸と交わります。こうなっているグラフは
です。 セ 3 ......[答]
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，
を用いて、θを消去すると、
