微分方程式(その2) 関連問題
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微分方程式の続きです。
線形1階微分方程式と呼ばれるタイプがあります。
，yの1次式で表される微分方程式です。
･･･①
という変数分離型の微分方程式を考えます。
を移項して、
を両辺にかけyで割ることにより、
とすると、
(C：積分定数)∴ 
と置き直すと、
ここで①の解を考えるのですが、今定数としているDをxの関数として、
と置き直したものが①の解になると考えます。この技巧を定数変化法と言います。
･･･② として、
(∵ ②)
これより、
∴ 
(ただし、
)
例1． 右図のような、起電力Vの交流電源と抵抗RとコイルLが直列に接続された電気回路で、起電力が
のように変化するとき、回路に流れる電流を求める。
[解答] 電流をIとして、抵抗両端の電圧は
，コイル両端の電圧は
キルヒホッフの第2法則により、回路の電圧降下と起電力が等しく、
よって、
･･･③
(電源がない場合に相当します)を解くと、
③の解を求めるために、定数
を
に置き換えて、
･･･④
∴ 
(C：積分定数)
......[答]
物理への応用(その2)で出てきた、
のように、2階の微分、1階の微分、もとの関数の1次式で表されるタイプを線形2階微分方程式と言います。
線形2階微分方程式のうち、定数係数のものを考えます。
･･･⑥
･･･⑦
となり、
，
であればよいことになります。つまり、tに関する2次方程式：
の2解をα，β として、⑦式を考えればよいのです。
さて、
とし、⑦式を見て、
を満たす解を
とすると、
なので、
は⑦の解です。
同様に⑦は、
とも書けるので、
を満たす解を
とすると、
も⑦の解です。
は
を満たすので、
同様に、
の解は、
を定数として、
ここで、
という関数を考えると、
となり、
，
として、
･･･⑧
にならって一次結合と言います)は⑦の解になっています。
の場合には、⑦は、
となりますが、中カッコの中をzとすると、
の解はcを定数として、
よって、
の解を、線形1階微分方程式で用いた定数変化法を用いて、
として代入すると、
⑦が、
となったときの解は、
となります。
の場合に戻ります。
2次方程式：
が、判別式：
であって、α，β がともに実数の場合には，⑧で問題ありませんが、
であって、α，β が虚数の場合には、
，
(iは虚数単位)だとして、⑦の解が、
ということになってしまいます。このときには、オイラーの公式：
を用い、
，
として、
yが実数であるなら、
となります。
p，qが実数であるときには、
，
となり、
となるように、
，
を決めておけば、
この場合には、解を、
の形に書くことができます(
の形でもよい)。
の場合には、減衰振動(物理への応用(その2)を参照)を表します。
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(C：積分定数)
･･･⑤
(∵ ⑤)
(
：積分定数)
(c，dは定数)
