物理への応用(その2) 関連問題
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物理への応用の続きです。
以後は一次元の運動を考えます。
等速円運動する物体にy軸に垂直な方向から光を当ててy軸に物体の影を作るとき、影が行う運動を単振動と言います。
物体の位置のy座標は、
物体の速度は、
物体の加速度は、
運動方程式は、力をfとして
となりますが、
一定の力
を受けて等加速度運動している物体が、さらに、速度に比例する抵抗力
(kを定数)が働くとき運動方程式は、
逆関数の微分法の公式より、
のときの速度を
だとして、
∴ 
のとき、
となり、物体の運動は等速度運動に近づいていきます。この最終的な速度
を終端速度と言います。
のとき、
だとして、
加速度a，速度v，座標xの時刻tに対する関係を右図に示します。
単振動している物体(座標x)に、速度vに比例する抵抗も働くと、運動方程式は、
2次方程式：
･･･②
②の判別式：
(i) 
，つまり、
のとき(抵抗力が強いことを意味します)、 ②は、2個の実数解：
2解とも負の解で、
，
として、2解は、
，
となります。
とおくと、 ①の左辺に代入すると、
，
は、②の解だから、 となり、①を満たすので、物体の座標は、
となります。 (ii) 
，つまり、
のとき(抵抗力はちょうどよいとき)、 このとき、②は重解
をもちます。
とおくと、 ①の左辺に代入すると、
より、 となり、①を満たすので、物体の座標は、
･･･③ (iii) 
，つまり、
のとき(抵抗力が小さいとき)、 
とおくと、①に代入すると、
これが恒等的に成り立つ場合、
･･･④，
･･･⑤⑤より、
④より、
∴ 
(根号内は正)
大学入試に出題される問題で、もう一つ、容器に水を流入させたり、容器から水を流出させるという問題があります。
ここでは、右図のように、単調増加な関数として与えられる曲線：
をz軸の回りに1回転して得られる曲面を容器側面とし、xy平面上に底面をもつ容器に、上から水を流入させることを考えます。
いろいろな入試問題が考えられますが、ここでは、水の流入速度がKで一定、容器の深さがHだとして、時刻0から水を入れ始めて容器が満杯になるまでの時間Tと水深hの変化率
を求めてみます。
容器を平面
で切ったときの断面の円の面積は、
水深がhになったときの容器内の水の量は、
(y軸の回りの回転体を参照)
水の流入速度は、
をtで微分して、
これがKに等しいので、
従って、水深の変化率は、
となります。
さて、この式を用いてhをtの式で表したいのですが、このままでは、右辺がtで積分できません。
そこで、逆関数の微分法により、
これで両辺をhで積分することにより、
において
より、
満杯になるとき、
において、
より、
例えば、
となる場合では、
より、
水深の変化率は、
満杯になるまでの時間は、
です。
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(
，
，
)
･･･①
とすれば、①を満たすので、物体の座標は、
･･･⑥
で、
となります(
，
なので、(i)の場合も
です)。
の形を仮定して、元の式①に代入することにより、
を求めましたが、①のような方程式を線形2階微分方程式と言います。詳しくは、線形2階微分方程式を参照してください。
