無限等比級数　　　関連問題


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この項目は、等比数列、等比数列の極限、無限級数を参照してください。
初項，公比rの等比数列の無限級数 (無限等比級数)は、
のときに和をもち、和は、

[証明]　のときには、初項，公比rの等比数列の第n項までの和(部分和)：
ここで、とすると、
・のとき、より、
・のときには、より、は発散します。
・のときには、は振動するので、は発散します。

のときは、より、は発散します。
以上より、のときに限ってが収束して、となります。　(証明終)

例．無限循環小数を分数に直すこと。

のように考えると、の部分は、初項0.234，公比の無限等比級数になっています。
公比は、を満たすので、この無限等比級数は収束して和をもちます。
よって、上記の公式より、
∴ ......[答]


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