無限級数　　　関連問題


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この項目では、数列の極限を参照してください。
数列に対して、その各項を加え合わせたものを級数と言う。
初項がで、有限個(n個)の項からなる数列の各項を加え合わせたものを有限級数と言い、有限級数は数列の和：にほかならない。
初項がで、無限個の項からなる数列の各項を加え合わせたものを無限級数と言い、と書く。
無限級数に対して、第n項までの和：を部分和と言う。
数列について、のとき、がある値Sに近づくとき、つまり、となるとき、“無限級数はSに収束する”という言い方をする。また、Sを無限級数の和と言う。
が発散するとき、“無限級数は発散する”という言い方をする。このときには、無限級数は和をもたない。
例1．が和をもつなら和を求める。
[解答]　部分和：
　
のとき、より、
よって、無限級数は和をもち、 ......[答]

例2．が和をもつなら和を求める。
[解答]　部分和：
　
　
　
　
のとき、より、
よって、無限級数は、和をもたない。

“無限級数が収束する　⇒　” は真ですが、
“　⇒　無限級数が収束する” は偽です。(条件・命題を参照)
なぜなら、無限級数がαに収束するとき、部分和；について、のとき、であり、また、
従って、
∴
“　⇒　無限級数が収束する” の反例は、例2で取り上げた、です。
ですが、例2で見たとおり、無限級数は収束しません。

k，hを実数として、，のとき、

[証明]　それぞれの無限級数の部分和を、，とします。
　(Σの公式を参照)
　(数列の極限を参照)
∴ 　(証明終)

例3．が和をもつなら和を求める。
[解答]　
ここで、，はともに収束するので、
　(無限等比級数を参照)
　 ......[答]


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