首都大理系数学'07年前期[3]
以下の問いに答えよ。
(1) 実数a，b，x，yに対して、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 実数を成分とする2次の正方行列Aについて、次の2つの命題(ア)と(イ)は同値であることを証明せよ。
(ア) 行列Aは逆行列をもつ
(イ) 条件
をみたす実数x，yは
に限る。 (3) 実数a，b，c，dが
をみたすとき、行列 
，
に対して、行列
は逆行列をもつことを示せ。
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解答 (1)はコーシー・シュワルツの不等式です(不等式の証明を参照)。
行列Aの逆行列が存在するかどうか、ということを調べるときに、
・
をみたすBを探す ・
を示す の、2通りのアプローチの仕方があります。この問題では、後者で考えます。
(1) 
∴ 
(2) 「(ア)と(イ)が同値」というのは、(ア)と(イ)が相互に必要十分条件になっていて、(ア)⇒(イ)と(イ)⇒(ア)がともに成り立つ、ということです。 ・(ア)⇒(イ)を示します。
よって、
に限られます。 (イ)が成り立つとき、
，
と仮定します。 (i) 
なら、
よりa，dのどちらかは0です。 
なら、条件
は、
，
xは任意の実数でよいことになり、
に限られることに反します。
，
なら、条件
は、 
，
は直線
上の任意の点でよいことになり、
に限られることに反します。(ii) 
なら、
よりb，cのどちらかは0です。 
なら、条件
は、
，
yは任意の実数でよいことになり、
に限られることに反します。
，
なら、条件
は、 
，
は直線
上の任意の点でよいことになり、
に限られることに反します。
(k：実数)とおくと、条件
は、
，
は直線
上の任意の点でよいことになり、
に限られることに反します。以上より、
とした仮定は誤りであり、
，よって、行列Aは逆行列をもちます。 ∴ (ア) ⇔ (イ)
(3) 
が逆行列をもつことを示すためには、 が言えればよいわけですが、
という条件を合わせて、
のような形を作るために、 を考えてみます。
∴ 
よって、
は逆行列をもちます。別解 上記の解答では、やってみたら偶然うまく行った、という面もありますが、問題の流れに沿って(1)，(2)を利用して解答するのであれば、 
･･･①をみたすx，yがどんな実数かを考えることになります。
①は、
となりますが、ここで(1)の結果を使うと、
･･･②
･･･③②＋③より、
ここで、
なので、
であれば、 ということになってしまいます。
従って、
なので
，つまり、①をみたすx，yは
に限られることになります。
よって、(2)より、
は逆行列をもちます。
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が存在するとき、条件
の左から
をかけて、
より左辺は
，右辺は
となり、
のとき、
を
で割って、
