秋田大医数学'08年[1]
整数mに対し、
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 方程式
が、整数の解を少なくとも1つもつようなmの値を求めよ。 (2) 不等式
を満たす整数xが、ちょうど4個あるようなmの値を求めよ。
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解答 本問のような、あてどもない整数問題が、試験場ではやっかいかも知れません。
(1) 方程式:
の2解をp,qとし、pを整数だとします。
・・・@
・・・A@より、mは整数なので、pが整数ならqも整数であって、2解はともに整数、ということになります。
すると、Aより、
・・・Bとなり、
は整数なので、題意をみたすためには、mが4の倍数になることが必要だとわかります。
@より、
,これをBに代入すると、 4をかけて、
・・・Cこういう形が出てきたら、(整数A)×(整数B)=(整数C)の形を作ることを目指します。まずはC左辺の因数分解を試みます。本問のような問題では、普通は因数分解できないのですが、このとき、因数分解できずにあぶれてしまった項が、整数の定数になるように工夫します。
まず、
に目を付けます。残りは、
ですが、ここから
をひねりだすのです。 なので、Cを、
と変形します。4をかけて左辺に15だけを残すと、
・・・Dに限られます。
このうちpが整数になるのは、
のときのみです。
(i)
のとき、Dは、
∴ 
(ii)
のとき、Dは、
∴ 
(iii)
のとき、Dは、
∴ 
(iv)
のとき、Dは、
∴ 
つまり、
のとき、2解は、
と1,
のとき、2解は、0と4になります。
よって、
......[答] (mは確かに4の倍数になっています)
(2) まず、
・・・Eより、
のグラフは、軸:
に関して対称です。・・・F (2次関数を参照)
より、方程式:
は、相異なる2実数解をもち、aを実数として、Fより、
が解なら
も解です。このとき、
をみたすxの範囲は、
を満たす整数xが、ちょうど4個ある、ということは、
の範囲に整数がちょうど4個ある、ということです。mが偶数だとします。
は整数です。このとき、Fより、kを整数として、
が、
を満たす最小の整数だとすると、
が、
を満たす最大の整数になります。だとすると、
を満たす整数は、
の
個存在することになり、4個、ということはあり得ません。
従ってmは奇数です。
を満たす4個の整数は、
,
,
,
ということになります。
は
をみたしますが、
は
をみたしません。
こうなるための必要十分条件は、Fより、
かつ 
です。Eより、
∴
,
・・・G
Eより、 ∴
・・・H
GかつHより、
,
・・・I
,
です。
,
,
,
より、Iをみたす奇数mは、
......[答]
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