秋田大医数学'08年[1]
整数mに対し、
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 方程式
が、整数の解を少なくとも1つもつようなmの値を求めよ。 (2) 不等式
を満たす整数xが、ちょうど4個あるようなmの値を求めよ。
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解答 本問のような、あてどもない整数問題が、試験場ではやっかいかも知れません。
(1) 方程式：
の2解をp，qとし、pを整数だとします。 
･･･①
･･･②①より、mは整数なので、pが整数ならqも整数であって、2解はともに整数、ということになります。
すると、②より、
･･･③となり、
は整数なので、題意をみたすためには、mが4の倍数になることが必要だとわかります。
①より、
，これを③に代入すると、 4をかけて、
･･･④こういう形が出てきたら、(整数A)×(整数B)＝(整数C)の形を作ることを目指します。まずは④左辺の因数分解を試みます。本問のような問題では、普通は因数分解できないのですが、このとき、因数分解できずにあぶれてしまった項が、整数の定数になるように工夫します。
まず、
に目を付けます。残りは、
ですが、ここから
をひねりだすのです。 なので、④を、
と変形します。4をかけて左辺に15だけを残すと、
･･･⑤に限られます。
このうちpが整数になるのは、
のときのみです。
(i) 
のとき、⑤は、 
∴ 
(ii) 
のとき、⑤は、 
∴ 
(iii) 
のとき、⑤は、 
∴ 
(iv) 
のとき、⑤は、 
∴ 
つまり、
のとき、2解は、
と1，
のとき、2解は、0と4になります。
よって、
......[答] (mは確かに4の倍数になっています)
(2) まず、
･･･⑥より、
のグラフは、軸：
に関して対称です。･･･⑦ (2次関数を参照) 
より、方程式：
は、相異なる2実数解をもち、aを実数として、⑦より、
が解なら
も解です。このとき、
をみたすxの範囲は、
を満たす整数xが、ちょうど4個ある、ということは、
の範囲に整数がちょうど4個ある、ということです。mが偶数だとします。
は整数です。このとき、⑦より、kを整数として、
が、
を満たす最小の整数だとすると、
が、
を満たす最大の整数になります。だとすると、
を満たす整数は、
の
個存在することになり、4個、ということはあり得ません。
従ってmは奇数です。
を満たす4個の整数は、
，
，
，
ということになります。
は
をみたしますが、
は
をみたしません。
こうなるための必要十分条件は、⑦より、
かつ 
です。⑥より、
∴ 
，
･･･⑧
⑥より、 ∴ 
･･･⑨
⑧かつ⑨より、 
，
･･･⑩
，
です。
，
，
，
より、⑩をみたす奇数mは、
......[答]
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，
は整数なので、
は15の約数であって、
