旭川医大数学'08年[2]
nは2以上の自然数とする。
を
で割った商を
，余りを
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
が成り立つことを示せ。 (3) 
(mは自然数)であることを用いて、
の
(
)の係数を求めよ。
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解答 多項式の除算と等比数列の融合問題です。
多項式
を多項式
で割り、商が
，余りが
になるとき、
また、余り
の次数は
の次数より小さくなります。
これが試験会場で思いつけないときは、
のとき、
となることを考えましょう。
(1) 2次式
で割るので余り
は1次式または定数で、 とおけます。これより、
･･･①①において、
とすると、 
･･･②①において、
とすると、 
･･･③②，③を連立すると、
，
∴ 
......[答]
(2) 
を
で割って商が
，余りが定数sになるとします。 
とすると、
∴ 
･･･④
より、
を
で割って商が
になるとして、余りは、剰余の定理より、
･･･⑤を、④に代入すると、
これは、
を
で割ると、商が
，余りが
になることを意味します。つまり、
です。
⑤より、 別解．(1)の結果より、
を用いると、∴ 
(3) 問題文の等式より、
･･････
辺々加え合わせると、
(2)で示した等式を用いると、
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の
(
)の係数は、
......[答]
