東京学芸大数学'08年[4]
半径1の2つの円が図のように異なる2点で交わっている。2つの交点をA，Bとし、弧ABに対する円の中心角の大きさをθ (
)とする。斜線をつけた図形をDとし、Dの周囲の長さをL，Dの面積をSとする。
を最大にするθ がただ1つ存在することを示せ。
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解答
短い方の弧ABの長さは
(一般角を参照)，長い方の弧ABの長さは、円周
からθ を引いて、
，よって、この2つ分は、
･･･①
弦ABと短い方の弧ABで囲まれる部分の面積は、扇形OABから三角形OABの面積を引いて、
･･･②
，よって、この2つ分は、
∴ 
ここで
としてもθ を求めることができそうもありません。
そこで、分子だけを抜き出して、θ によってどのように変化するか調べてみます。分子を、
とおきます。
において、
，
より、
で、
は単調減少です。θ に値を入れて
の値を計算してみると、
となっているので、
においては
，また、
は
の範囲にただ1つの解αをもちます。
より、
について次の増減表が得られます(関数の増減を参照)。
増減表より、
を最大にするθ がただ1つ存在します。
追記．最大最小を調べるために導関数を求めても、導関数がきれいでない、という場合があります。本問では分子を抜き出して調べることにより解決しました。同様の技巧が使える問題に、阪大理'96後期[2]：
に対して、方程式
を考える。(1) この方程式は正の解をただ1つもつことを示せ。
(2) その解を
とかくとき、
ならば
であることを示せ。 (3) 
を求めよ。
があります。これを考えてみます。
(1) 元の形のままでは厳しいので、両辺を
(
)で割ります。 
とおくと、
とすると、両辺の対数を考えると、
∴ 
(
)
，
より、以下の増減表が得られます。
，また、増減表より
となるので、方程式
，つまり、
は
の範囲にただ1つの解をもちます。 (2) ‘
ならば
'ということは、
はaの増加関数ということです。 従って、
であれば
であることを示せばよいわけです。
は
の解なので、 となるのですが、この式から、
をaの式で表すことはできません。陰関数の微分法によって
をaの式で表すこともできません。ここで行き詰まります。
そこで見方を変えて、mをaの式で表すのではなく、aをmの式で表すことを考えてみます。 これをaについて解くと、
両辺の対数を考えて、
∴ 
これをmで微分すると、 手に負えない形をしているので、学芸大の問題のように、分子を抜き出して
とおきます。 
(∵ 
)よって
はmの減少関数で
より、
において
∴ 
よって、
(逆関数の微分法を参照)
のとき、
はaの増加関数で、
ならば
となります。 (3) ①を見ると
のとき、
，
となりそうなのですが、
は、
で
，
なら
になってしまうかも知れません。ですが、
はaの増加関数であり
なので、
のとき
ということはあり得ないはずです。そこで、
のとき
ということがないように、
のaを固定してしまうことを考えます。 (2)より
はaの増加関数なので、ある正数
をとると、
となるaについて
①より
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，
，
･･･① (
と
より
)
のとき、
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