鹿児島大理系数学'08年[3]
eを自然体数の底とする。このとき、次の各問いに答えよ。
(1) 積分
を計算することにより、次の等式を証明せよ。 (2) すべての自然数nについて、等式
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。
(3) 
のとき、すべての自然数nについて、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
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解答 マクローリン展開をテーマとした問題です。(2)は、数学的帰納法を参照してください。
(第1項の[ ]では、xと0をtに代入することに注意！)
∴ 
(証明終)
(2) (Ⅰ) 
のとき、(1)より、与式が成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、与式が成り立つと仮定すると、 
･･･①
のときには、
という定積分が登場しそうです。この定積分を、部分積分法により計算してみます。となって、①の右辺に出てくる定積分が顔を出します。
これを①に代入すると、
よって、
のときも与式は成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nについて、与式が成り立ちます。(証明終)
(3) 
において、
です。これより、nを自然数とするとき、
です。従って、
となります。 ∴ 
よって、(2)の等式より、 
･･･②∴ 
(証明終)
追記．金沢大理系後期にも類題が出ていて、
とおくとき、
，
が成り立つことを示す問題です。上記をもじれば、解答できるでしょう。なお、上記(3)の②により、 となります。
のとき
より、 xを固定して、
とすると、右辺→0より、
これより、 となることを知っていると、不等式の証明(微分法の不等式への応用(2)を参照)などでいろいろなアイデアが湧くことがあります。
のマクローリン展開は、 
(
は奇関数。
の奇数次の項を抜き出し、1項ごとに±を入れ替えたものになっている)となりますが、
を証明するような問題(兵庫県大'08年)は、ここから来ています。
茶女大'95年理系では、 
を示せ。ただし、
の1は1ラジアンの意味である。という問題が出ていますが、
を証明して、
を代入すれば、 となります。
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