九州工大情報数学'08年前期[4]
出席者n人の会議で、出席者のうち
以上が議案に賛成する確率
と、
以上が賛成する確率
を考える。各出席者が議案に賛成する確率をp (
)とし、各出席者が賛成するかしないかは互いに独立であるとする。
たとえば、
である。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を示せ。 (3) 差
が最も大きくなるときのpの値を求めよ。 (4) 
のとき、
を示せ。
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解答 出席者の
以上が賛成する確率、などと言うと、「憲法改正」の確率でも考えているのかな、と、思ってしまいますが、(1)～(4)はセンター試験の練習程度の問題で、(5)だけ少々技巧を使います。
(1) 
は、出席者3人で
以上が賛成する確率です。2人が賛成するか、3人が賛成するか、です。 3人中2人が賛成して1人が反対する場合、反復試行の確率の公式より、その確率は、 
･･･①3人中3人が賛成する確率は、
∴ 
......[答]
(2) 
∴ 
(3) 
とおくと、
とすると、
，
これより増減表は、 増減表より、差
が最も大きくなるとき、
......[答]
(4) 賛成する確率が
のとき、反対する確率も
です。 このとき、(1)の結果より、
･･･②ですが、
なので、 同様に、
よって、
より、
(5) 
は、出席者3人で
以上が賛成する確率です。2人が賛成するか、3人が賛成するか、なので、
のとき、
は、出席者5人で、3人が賛成するか、4人が賛成するか、5人が賛成するか、なので、
のとき、同様に、
とくれば、どうやら、kに無関係に
になりそうだ、と、気づきます。
で言えば、
，
，
，
なので、 になっているんだろう、ということになり、二項定理を利用すればよいことがわかります。
二項定理：
において、n→
，x→1とすることにより、 ∴ 
･･･③
は、出席者
人で
以上が賛成する確率です。n人以上が賛成すればよいので、
のとき、 ③より、
......[答]
追記，(4)で、問題文が、「
を示せ」となっていて、不等号が等号付きになっているのが気になります。おそらく、最初に作成された問題の案では、
という条件はついていなかったのだろうと思います。
という条件をとってしまうと、
は大変な計算になってしまうので、
のときだけでよい、ということになったのでしょう。
ここでは、
と
の関係だけでも
として調べておきます。
上記の①，②より、
とおきます。
とすると、
の解がどうなるのか問題になります。
そこで、
とおいて、
を調べます。
増減表より、
は、
に1解α、
に1解β あることがわかります(関数の増減を参照)。これより
の増減表は以下のようになります。
の増減表を見ると、
は
の範囲に解γをもち、
においては、
，
においては、
ということがわかります。
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のとき、
(
)を求めよ。
，
，･･･，
より、
，
