金沢大理工数学'08年後期[4]
関数
のグラフ上の点
における接線のy切片を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を満たす正の数θ を小さい順に とする。
を求めよ。 (3) 無限級数
の和を求めよ。ただし、
のとき
が成り立つことを用いてもよい。
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解答 面倒な計算問題ですが、(3)に、(等差)×(等比)の和の形が出てきます。元の和に(等比)の公比にあたる数をかけた和を、元の和から引くと、(等比)の和の形＋アルファ、になって和が求められる、というのは、理系受験生の必須技巧です。
(1) 
∴ 
......[答]
(2) 
(3) 
とおくと、
∴ 
･･･③
②，③を①に代入すると、 
......[答]
追記．上記で
を求めるところは、
の行を、
の行と1つずらせて、eの指数がそろうように書き、上から下を引くところがミソです。
･･･④
･･･⑤
∴ 
∴ 
のように変形できるとよいと思います。
本問では、微分計算の後で(等差)×(等比)の形が出てきますが、この形は、確率の問題の中でよく登場します。
例えば、袋の中に白球と黒球が入っていて、それぞれ
の確率で取り出す試行を行うとき、黒球を取り出した時点で試行は終了、白球を取り出した場合には試行を繰り返すとき、白球を取り出す回数の期待値Eを求める、という場合、
⑥－⑦より、
∴ 
ここで
とすると、
よって、
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とすると、
，
(
)
より、
......[答]
･･･① (∵ 
)
とすると、
，
より、
･･･⑥
･･･⑦
における