名工大数学'08年前期[4]
表の出る確率がp ()、裏の出る確率がのコインを用いて、以下の手順により1つの空間ベクトルを定める。1回目にコインを投げて、表が出ればx成分を1，裏が出ればx成分をとし、2回目にコインを投げて同じようにy成分を決め、3回目にコインを投げて同じようにz成分を決める。この手順を3回繰り返して、3つの空間ベクトル，，を決める。とのx成分が同符号となる確率をαとする。
(1) αをpを用いて表せ。
(2) 内積が1となる確率をαを用いて表せ。
(3) 内積の期待値をαを用いて表せ。
(4) ，として内積が正となる確率を求めよ。


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解答　(4)に奥深い問題があるのですが、その問題に気づかなくても正解と同じ答が出てしまいます。実際の入試の採点ではどうだったのでしょうか？

，，のx成分を，，，y成分を，，，z成分を，，とします。
(1) とが同符号になるのは、
，
となる場合です。
となる確率は、1回目も2回目も表が出る確率で
となる確率は、1回目も2回目も裏が出る確率で
とが同符号になる確率αは、
......[答]
とが同符号になる確率、，が同符号になる確率もαです。

(2) (内積を参照)となるのは、，，のうち、2つが1で、1つがとなるときです。
となるのは、とが同符号なるときで、確率はα
となるのは、とが異符号になるときで、確率は
y成分、z成分についても同様です。
，，のうち、どれがになるかが3通りあり、同符号が2つ異符号が1つになるので、となる確率は、 ......[答]

(3) は、のときに3，，のときに1，，のときに，，のときにとなり、これ以外にの取り得る値はありません。ののとりうる値は、3，1，，です。
となるのは、のときで、，，の組がいずれも同符号になるときです。この確率は
となる確率は、(2)より、
となるのは、，，のうち、2つがで、1つが1となるときです。この確率は、，，のうち、どれが1になるかが3通りあり、同符号が1つ異符号が2つになるので、
となるのは、のときで、，，の組がいずれも異符号になるときです。この確率は　･･･①
内積の期待値は、

......[答]

(4)
の各成分が1であってもであってもです。
となる方を考えると場合分けが多いので、余事象の方、つまり、
となる場合を考えます。こうなるのは、
となる場合です。
となるのは、
となるときです。x成分を考えると、，のいずれも異符号なので、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表裏裏」となるか「裏表表」となる場合で、その確率は、
y成分、z成分も同様です。よって、となる確率は、　･･･②
，となるのは、
，，の組がいずれも異符号で、，，の組のうち2つが異符号で1つが同符号となる場合です。x成分を考えると、，のいずれも異符号となる確率は上記のようにです。が異符号でが同符号となるのは、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表表裏」となるか「裏裏表」となる場合で、その確率は、
となり、，のいずれも異符号となる確率と等しくなります。
y成分、z成分も同様です。
，，の組のうちどれが同符号になるのかが3通りあるので、，となる確率は、　･･･③
，となる確率も同様に、　･･･④
よって、となる確率は、②，③，④より、
となる確率は、として、
......[答]
追記．この問題には注意すべき点があります。
例えばのとき、となる確率は、
　･･･⑤
なのですが、となる確率を①からとし、，となる確率をとして、となる確率を、
　･･･⑥
としてしまうと、のときなので、となってしまい、⑤と食い違ってしまいます。この原因は、となる事象ととなる事象が独立でないことによります。となる確率はではないのです。但し、のときには⑥もになってしまうので答は合ってしまいます。旺文社全国大学入試問題正解に詳しい解説があります。


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