横浜市大医数学'08年[4]
4次方程式
･･･(＊)
(1) 方程式(＊)は区間
に解をもつことを示せ。 (2) (1)で解をオイラー(Leonhard Euler)の方法で求めよう。p，q，rを正の実数として
(
)とおく。まず、補助変数f，g，h
を導入する。
，
を計算して、4次方程式 
･･･(＊＊)としたときA，B，Cをf，g，hを用いて表せ。次に(＊)と(＊＊)が同じ式と仮定してf，g，hを求めよ。
(3) 等式
と(2)で得られたf，g，hを用いて3次方程式
の3つの解p，q，rを求めよ。
(4) 方程式(＊)の解
を等式
(
)を用いて簡略化し、それが区間
にあることを示せ。
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解答 入試問題としては計算するだけですが、4次方程式の一般的解法をネタとした興味深いテーマの問題です。なお高次方程式を参照してください。
また、問題文中の区間
は、
の範囲、という意味です。
(1) 
とおきます。
よって、方程式(＊)は区間
に解をもちます。
(2) 
ここで、
とおくと、問題文中のfを用いて、 
･･･①
･･･②この中の
は、問題文中のg，hを用いて、 ①より、
②より、 ∴ 
(＊＊)と比較すると、 (＊)と(＊＊)を比較すると、
(3) 
定数項の
の約数
，
を代入していくと、
を代入したときに、 3つの解p，q，rは、2，
......[答]
(4) 
は、問題文中の等式にあてはめると、 
，
これをみたすα，βは、3と5
これより、
(複号同順)よって、
，
を考慮して、 より、
となります。
追記．本問に合わせたのか、3次方程式を解こうという問題も出ています。
首都大'08年後期[1]：
以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数x，y，zに対して次の等式が成り立つような実数の組
を1組求めよ。 ただし、iは虚数単位とする。
(3) 3次方程式
の解をすべて求めよ。
解答 (1) 因数分解の公式：
を記憶していれば、これを使えばよいのですが、記憶していなければ、
が出てくるように、
を考えます。 ∴ 
中カッコ内について、
つまり、
(複号同順)ということは、 よって、
......[答]
(2) 
･･･①
，
は整数なので、
は91の約数です。
の中から①をみたすものを探すと、
より、y，zは、の2解で、
......[答]
(3) (1)において、
，
とすると、 より、
......[答]
3次方程式の一般的解法については、カルダノの解法が知られていて、'94年日本医科大[1]で出題されています。3次方程式、4次方程式の一般解に興味を持たれた方は、「代数学講義・改訂新版」高木貞治著(共立出版)の第6章を参考にしてください。実は、この本と高木貞治さんの「初等整数論講義」は入試問題のネタとしてよく使われていて、時間に余裕のある方は一読の価値があります。
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を満たす整数の組
を1組求めよ。
