山形大工数学'08年[4]
数列が
　()
で定義されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ，を求めよ。
(2) 部分積分法を用いて、 を示せ。
(3) とおくとき、を示せ。
(4) を示し、を求めよ。


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解答　なので、であり、この問題のについて言えることがについても言えます。
(4)は、少し悩むかも知れません。ここでは、悩むところからやってみます。
なお、定積分の漸化式を参照してください。

(1) ......[答]　(不定積分の公式を参照)
......[答]　(半角の公式を参照)

(2) 　(ここで、部分積分を行う)
　(です)




∴
∴
∴ 　･･･①

(3) ①を利用するために、の添字を1つずらして、としてみます。
①を代入して、
∴
よって、
　(∵ (1))

(4) (3)より、
　･･･②
において、 (等号はのときだけ)なので、です。ということは、
⇔ 　･･･(＊)
です。そこで、(＊)を示すことにします。
(＊)の左側の不等号は、②の両辺にをかけて、
として、であれば、
として導けそうです。
(＊)の右側の不等号は、であれば、②の左辺にをかけたものとを比較することにより、
として、
から導けそうです。
ということは、が言えれば(＊)が言えることになります。
，なので、において、とを比べることになります。答案は以下のようになるでしょう。

において、 (等号はのときだけ)より、
よって、
また、において、 (等号はのときだけ)より、
(3)より、
　･･･②
②の両辺に、をかけて、
∴
より、
∴ 　･･･③
②ととから、
∴
なので、に対して、
∴ 　･･･④
③，④より、
より、
ここで、とすると、左辺は、
よって、はさみうちの原理より、
∴ ......[答]


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