山形大工数学'08年[4]
数列
が
(
)
(1) 
，
を求めよ。 (2) 部分積分法を用いて、
を示せ。 (3) 
とおくとき、
を示せ。 (4) 
を示し、
を求めよ。
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解答 
なので、
であり、この問題の
について言えることが
についても言えます。
(4)は、少し悩むかも知れません。ここでは、悩むところからやってみます。
なお、定積分の漸化式を参照してください。
(3) ①を利用するために、
の添字を1つずらして、
としてみます。 ①を代入して、
∴ 
よって、 
(∵ (1))
(4) (3)より、
･･･②
において、
(等号は
のときだけ)なので、
です。ということは、
⇔ 
･･･(＊)です。そこで、(＊)を示すことにします。(＊)の左側の不等号は、②の両辺に
をかけて、 として、
であれば、 として導けそうです。(＊)の右側の不等号は、
であれば、②の左辺に
をかけたものと
を比較することにより、 として、
から導けそうです。
ということは、
が言えれば(＊)が言えることになります。
，
なので、
において、
と
を比べることになります。答案は以下のようになるでしょう。
において、
(等号は
のときだけ)より、
よって、 (3)より、
･･･②②の両辺に、
をかけて、 ∴ 
より、 ∴ 
･･･③
②と
とから、 
より、∴ 
......[答]
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(
です)
･･･①
において、
(等号は
のときだけ)より、
なので、
に対して、
･･･④
......[
とすると、左辺は、