熊本大理系数学'09年[4]
次の問いに答えよ。
(問1) 
のとき、
をみたすxの範囲を求めよ。 (問2) 
を求めよ。
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解答 問2では、被積分関数に絶対値記号がついていますが、問1でその分母の符号を調べるようになっています。積分は、置換積分などがなかなかうまく行かないので、少々悩むかも知れません。
δ は、
，
を満たす角で、例えば、
よって、
のとき、
この範囲で
となるのは、
，つまり、
のとき。
求めるxの範囲は、
......[答]
(問2) (問1)の結果より、積分区間
において、
において
，
において
よって、
において、
において、
以上より、ここで、少々困ります。
はこの形のままでは、原始関数が求められません。さりとて、
などとおいても、積分できる形が見えてきません。また、部分積分がうまく行く形でもありません。
こうしたときに、使える手段に、公式：
(不定積分の公式を参照)の利用があります。
ですが、
であって、
になりません。
この公式は、そのまま適用できなくても、少し変形すると使えることがあります。 のように、
と定数の和や差の形に変形すれば積分できるわけです。
①でも、この変形ができないか、 とおいて調べてみると、
，
連立して解くと、
，
つまり、 これより、
(C：積分定数)
とおくと、①は、
......[答]
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