長崎大医数学'09年[4]
すべての正の実数xに対して定義された連続関数
は次の(a)，(b)を満たすものとする。
(a) すべての正の実数x，yに対して
(b) すべての自然数nに対して
この関数
について、次の問いに答えよ。
(1) xを正の実数とするとき、次の値を求めよ。
(2) aを
を満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。 (3) a，bを
を満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。 (4) a，bが
を満たす実数でも(3)の不等式が成り立つことを用いて、正の実数x，yに対して、次の不等式を証明せよ。
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解答 問題文の関数
は、条件(a)，(b)から、対数関数
のような関数を想定して考えます。(1)なら、
だろうということになります。
(4)の不等式は、
のグラフが上に凸な曲線であることを意味しています。この形のまま強行せずに、(3)を利用せよ、という問題文の指定に従って、変形してから示すようにします(不等式の証明を参照)。
(1) (a)において、
とすると、 また、(a)において、
とすると、 ∴ 
･･･①
∴ 
......[答]
(2) aが
を満たす有理数のとき、
，
となる自然数p，qが存在します。 (1)の結果において、
とすることにより、 ∴ 
(b)を繰り返し用いることにより、
∴ 
(証明終)
(3) 
より、
(2)の結果より、有理数
について、 (1)の結果より、
∴ 
(証明終)
(4) (3)が使える形に変形します。
となるので、
･･･②∴ 
(等号は
のときに成立) ・
のとき、
となり②の等号が成立します。 ・
のとき、
より、(3)の結果において、
，
とすることにより、 以上より、②が成立し、
(証明終)
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(
なら
ですが)
(∵ (1))
