大阪府立大工数学'09年[3]
点O
を原点とする座標空間の4点A
，B
，C
，D
の位置ベクトルをそれぞれ
，
，
，
とする。また、2つのベクトル
，
の両方に垂直な単位ベクトルを
とし、2つのベクトル
，
の両方に垂直な単位ベクトルを
とする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの位置ベクトル
は、
(α，β，γは定数)
(1) 
，
を成分表示せよ。 (2) 実数s，t，uに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトル
は、 
(s，tは実数)であるとする。実数s，tを動かすとき、
の最大値は
であることを示せ。この最小値を点Pと平面OABとの距離という。ただし、平面OABとは3点O，A，Bを通る平面である。 (4) 点Pと平面OABとの距離を内積
を用いて表せ。 (5) 
の成分表示を
とする。点Pと平面OCDとの距離が点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をl，m，nを用いて表せ。 ((1)については計算の過程を記入しなくてもよい)
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解答 平面との距離を考えようという問題です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1)については、計算過程は不要、とのことなので、外積を用いた受験技巧で結果を出してしまうのが良いと思います。外積は物理でも使う(ローレンツ力を参照)ので、高校範囲外と言っても、知っていて損になることはありません。
よって、
......[答] よって、
......[答]
①と
より、
(3) 
(∵ (2))実数s，tを動かすとき、これは、
かつ
のときに最小値
をとります。つまり、
の最小値は
です。
(4) 点Pと平面OABの距離は(3)より
です。 ①より、
つまり、点Pと平面OABの距離は、
......[答]
(5) (4)を用いて、点Pと平面OABとの距離は、
点Pと平面OCDとの距離は
両者が等しくなることから、
∴ 
または 
......[答]
追記．本問によると、①より、平面OABの方程式を、
つまり、
，平面OAB上の点を
として、
と表すことができます。
は、平面OABの大きさ1の法線ベクトルです。
点P
と平面OABとの距離は、
で与えられます。なお、点と平面の距離を参照してください。
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は、
，
の両方に垂直なので、
･･･①
は
，
の双方に垂直です