大分大医数学'09年[1]
(
)
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 
，
の値を求めよ。 (2) 
の値を求めよ。
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解答 被積分関数の中にnが出てくるので、定積分の漸化式を考えたくなりますが、(1)を見れば、もっと別のことを考えなければいけません。
......[答]
......[答]
(2) (1)の
，
の結果を見れば、
を数列の一般項と見て漸化式を考えるのでは展望がないことは明らかです。かと言って
の計算も展望がありません。 被積分関数の中に出てくる
は、
のときには、
となりますが、
のときには
となるので
であり、
と
とを分けて考える必要があることがわかります。そこで、積分区間を
，
に分割して、 として考えることにします。
まず、
ですが、
において
なので、
となりそうです。そこで、
，
となる
を探すことにします。つまり、
となる
で積分計算が簡単に行える形を考えます。
なので、
です。よって、 
のとき、
･･･①次に、
ですが、
のとき
なので、
となりそうです。そこで、
，
となる
を探すことになります。つまり、
となる
で積分計算が簡単に行える形を考えます。ここで、 ですが、
なので、
であれば容易に積分できます。
において、 より、
，
∴ 
よって、 
のとき、よって、はさみうちの原理より、
･･･②①，②より、
......[答]
を計算してみます。
とおいて、右辺を通分すると、
∴ 
，
，
∴ 
，
，
∴ 
とおくと、
x：
のとき、θ：
，ただし、
以上より、
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，
のとき、
