阪大理系数学'09年前期[4]
平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
，
であるようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。
(1) 
と
は平行であることを示せ。
(2) 
であることを示せ。
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解答 
，
は単位ベクトルです。
ちょっと見た目では方針を立てにくそうですが、平面ベクトルの基本に忠実に、
を、
と、1次独立な2個のベクトル
，
の1次結合の形に表すことにより解決できます。
Qは直線OP上の点なので、qを実数として、
と表すことができます。
より、
･･･①
，
は1次独立、つまり、
，
は1次独立なので、s，tを実数として、
･･･②
注．
，
とするのでは遠回りになります。点Pには意味がないことに注意してください。
①より、
より、
と
のなす角をθ として
，
より、
･･･③
これより、
･･･④
，
とおくと、
，
と表せます。
より、
ですが、
とすると、
となってしまうので、
です。また、③より、
∴ 
④より、
これより、
と
は平行で、
これで、(1)と(2)が示せました。
別解．平面幾何で考える方が容易かも知れません。
なので、
という条件より、 よって、
，
，
，
より、
つまり、
の二等分線と直線OPは垂直です。題意より、
なので、Aを通りOPに平行な直線と
の二等分線との交点をRとすると、四角形OQARは長方形です。
長方形OQARの対角線OAとQRの交点をSとすると、SはOA，QRの中点で、
が
である二等辺三角形であることから、ORが
の二等分線であることから、 よって、
より
これより、QRはOAの中点Sを通るのでABの中点Mも通ります。
∴ 
∴ 
(2) Aを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点をT，Mを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点Uとすると、MはABの中点なので、UはBTの中点です。
ORが
の二等分線であることと
であることから、
は
である二等辺三角形です。 と、四辺形OQMUが平行四辺形であることから、
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，
とすると、
より、
