信州大工数学'09年[2]
数列
において
とおく。
(
)
を求めよ。
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解答 数列
のn項の和
に関する等式が与えられている問題では、
と
を利用します(数列の和と一般項を参照)。
また、
という形の漸化式は、
・
であれば、
で割ることにより、 ・
であれば、
とおいて漸化式に代入し、
が公比pの等比数列になるようにα，β を定めることにより、一般項
を求めることができます。本問はこのタイプです。 ・
であれば、
とおいて漸化式に代入し、
が公比pの等比数列となるようにα，β，γを定めることにより、一般項
を求めることができます。
･･･①
とすると、
より、
∴ 
･･･②
①において、nを
に代えて、
･･･③
より、
∴ 
･･･④
･･･⑤ とおいて代入すると、
注．このとき、くれぐれも、
とやらないように注意してください。
整理して、
ここで、
，つまり、
，
のとき、
となり、
は公比2の等比数列になります。
⑤で
とすると、②より、
∴ 
よって、
⑤より、
......[答]
別解．④で、nを
に代えて、
･･･⑥
とおくと、
⑦－⑧より、
④で
として、
は、初項：
，公比2の等比数列。
∴ 
この
に④を代入して、
∴ 
......[答]
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･･･⑦
･･･⑧
