東北大理系数学'09年前期[6]
実数aに対して、xの方程式
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。
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解答 難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。
以下では、
の場合はグラフから視覚的に判断できますが、
の場合は判別式などを調べる必要があります。
なお、2次関数、2次方程式の一般論、2次方程式の解の配置を参照してください。
･･･①
絶対値記号の内側は、
で符号が変わるところと
で符号が変わるところがそれぞれ2カ所あることに目をつけて、①を、
･･･②
･･･③
において絶対値記号の内側が符号を変えます。
②は、
，
のとき、
のとき、
よって、②のグラフは右図のようになります。
③は、
のとき、
･･･④
のとき、
･･･⑤
のとき、
･･･⑥
，
のとき、右図のようになります(
のときは③はx軸に一致)。このとき、aがいかなる値であっても、
のとき
となることに注意します。つまり、③のグラフはaの値にかかわらず、点
，点
を通ります。
また、③は、
のとき
，
のとき
となるので、点
，点
を通ります(この2点で折れ曲がります)。
のとき③はx軸に一致しますが、②はx軸と相異なる3個の共有点をもつので、不適です。以後、②の右辺を
とおいて(
)、
，
の場合に分けて考えます。
(i) 
のとき(a) 
において、③は、
を通り、⑥より傾き
(
)の直線の一部になりますが、
，
で、
は増加なので、
において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。 (b) 
において、③は、
，
を両端とする傾き
(
)の線分で、
であり、
，つまり、
のとき、点
(②のグラフとy軸との交点)を通ります。②のグラフはこの範囲で上に凸なので、③が点
を通ることから、
であれば、この範囲において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。 
のとき、この範囲において、②と③のグラフは2個の共有点をもち、方程式①は2解をもちます。(c) 
において、③は、
を通り、傾き
(
)の線分で、
はこの範囲で減少なので、
のときには、
において②と③は共有点をもたず、方程式①は解をもちません。 
より、
のときには、
において②と③は共有点を1個もち、方程式①は1解をもちます。以上より、方程式①が4解をもつのは、
･･･⑦(ii) 
のとき 判別式：
のとき
なので、
の軸：
，
より、
において、②と③は交点を2個もち、方程式①は2解をもちます。
のとき
で、
において、方程式①は1解(重解)をもちます。
のとき、
において、方程式①は解をもちません。
(
)のとき、 ・
のときには、
より、
において、方程式①は1解をもちます。 判別式：
のとき
なので、
において、方程式①は解をもちません。
のとき
で、
において、方程式①は1解(重解)
をもちます。
のとき
ですが、
の軸：
，
，
より、 ・
のときには、軸：
，
，
より、
において、方程式①は2解をもちます。 各範囲の解の個数は、aの値に従って以下のようになります。表より、方程式①が4解もつのは、
，
･･･⑧ ⑦，⑧より、
，
，
......[答]
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(a) 
において、
と④を連立すると、
(左辺を
とおきます)
のとき
なので、
より、
において、②と③は交点を1個もち、方程式①は1解をもちます。
(b) 
において、
と⑥を連立すると、
(左辺を
とおきます)
のときには、
，
の軸：
より、
において、方程式①は解をもちません。
(c) 
において、
と⑤を連立すると、
(左辺を
とおきます)
のときには、
，
より、
において、方程式①は1解をもちます。
